Trojúhelník 15 18 20

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 15
b = 18
c = 20

Obsah trojúhelníku: S = 129,7599151893
Obvod trojúhelníku: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5

Úhel ∠ A = α = 46,1287528069° = 46°7'39″ = 0,80550772406 rad
Úhel ∠ B = β = 59,89896728258° = 59°53'23″ = 1,04552719788 rad
Úhel ∠ C = γ = 73,98327991052° = 73°58'58″ = 1,29112434342 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 17,30112202524
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 14,41876835437
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 12,97659151893

Těžnice: t_a = 17,486570845
Těžnice: t_b = 15,21551240547
Těžnice: t_c = 13,21098448136

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,89765717695
Poloměr opsané kružnice: R = 10,40438904409

Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[7,525; 12,97659151893]
Těžiště: T[9,175; 4,32553050631]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; 2,87107031031]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8,5; 4,89765717695]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 133,8722471931° = 133°52'21″ = 0,80550772406 rad
∠ B' = β' = 120,11103271743° = 120°6'37″ = 1,04552719788 rad
∠ C' = γ' = 106,01772008948° = 106°1'2″ = 1,29112434342 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 15 b = 18 c = 20

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 15 + 18 + 20 = 53

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 3}{2} = 26, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 26, 5 (26, 5 - 15) (26, 5 - 18) (26, 5 - 20) S = 16837, 44 = 129, 76

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 9 , 7 6}{1 5} = 17, 3 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 9 , 7 6}{1 8} = 14, 42 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 9 , 7 6}{2 0} = 12, 98

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 0}) = 46 ° 7^{'} 39 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 0}) = 59 ° 5 3^{'} 23 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 46 ° 7^{'} 39 " - 59 ° 5 3^{'} 23 " = 73 ° 5 8^{'} 58 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 9 , 7 6}{2 6 , 5} = 4, 9

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 1 8 \cdot 2 0}{4 \cdot 4 , 8 9 7 \cdot 2 6 , 5} = 10, 4

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 17, 486 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 15, 215 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 13, 21

Vypočítat další trojúhelník