Trojúhelník 15 18 21
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 15
b = 18
c = 21
Obsah trojúhelníku: S = 132,27224461103
Obvod trojúhelníku: o = 54
Semiperimeter (poloobvod): s = 27
Úhel ∠ A = α = 44,41553085972° = 44°24'55″ = 0,77551933733 rad
Úhel ∠ B = β = 57,12216504356° = 57°7'18″ = 0,99769608743 rad
Úhel ∠ C = γ = 78,46330409672° = 78°27'47″ = 1,3699438406 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 17,6366326148
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 14,69769384567
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 12,597737582
Těžnice: ta = 18,06223918682
Těžnice: tb = 15,87545078664
Těžnice: tc = 12,8166005618
Poloměr vepsané kružnice: r = 4,89989794856
Poloměr opsané kružnice: R = 10,71765176247
Souřadnice vrcholů: A[21; 0] B[0; 0] C[8,14328571429; 12,597737582]
Těžiště: T[9,71442857143; 4,19991252733]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10,5; 2,14333035249]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9; 4,89989794856]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 135,58546914028° = 135°35'5″ = 0,77551933733 rad
∠ B' = β' = 122,87883495644° = 122°52'42″ = 0,99769608743 rad
∠ C' = γ' = 101,53769590328° = 101°32'13″ = 1,3699438406 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=15 b=18 c=21
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=15+18+21=54
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=254=27
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=27(27−15)(27−18)(27−21) S=17496=132,27
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=152⋅ 132,27=17,64 vb=b2 S=182⋅ 132,27=14,7 vc=c2 S=212⋅ 132,27=12,6
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 18⋅ 21182+212−152)=44°24′55" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 15⋅ 21152+212−182)=57°7′18" γ=180°−α−β=180°−44°24′55"−57°7′18"=78°27′47"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=27132,27=4,9
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 4,899⋅ 2715⋅ 18⋅ 21=10,72
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 182+2⋅ 212−152=18,062 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 212+2⋅ 152−182=15,875 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 152+2⋅ 182−212=12,816
Vypočítat další trojúhelník