Trojúhelník 15 19 23

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 15
b = 19
c = 23

Obsah trojúhelníku: S = 141,78657097877
Obvod trojúhelníku: o = 57
Semiperimeter (poloobvod): s = 28,5

Úhel ∠ A = α = 40,45990830808° = 40°27'33″ = 0,70661442121 rad
Úhel ∠ B = β = 55,28800873965° = 55°16'48″ = 0,96548195359 rad
Úhel ∠ C = γ = 84,26108295227° = 84°15'39″ = 1,47106289056 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 18,9054761305
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 14,92548115566
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 12,32991921555

Těžnice: t_a = 19,71767441531
Těžnice: t_b = 16,93436942219
Těžnice: t_c = 12,67987223331

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,97549371855
Poloměr opsané kružnice: R = 11,55879348755

Souřadnice vrcholů: A[23; 0] B[0; 0] C[8,54334782609; 12,32991921555]
Těžiště: T[10,51444927536; 4,11097307185]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11,5; 1,15657934875]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9,5; 4,97549371855]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 139,54109169192° = 139°32'27″ = 0,70661442121 rad
∠ B' = β' = 124,72199126035° = 124°43'12″ = 0,96548195359 rad
∠ C' = γ' = 95,73991704773° = 95°44'21″ = 1,47106289056 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 15 b = 19 c = 23

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 15 + 19 + 23 = 57

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 7}{2} = 28, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 28, 5 (28, 5 - 15) (28, 5 - 19) (28, 5 - 23) S = 20103, 19 = 141, 79

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 1 , 7 9}{1 5} = 18, 9 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 1 , 7 9}{1 9} = 14, 92 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 1 , 7 9}{2 3} = 12, 33

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 3}) = 40 ° 2 7^{'} 33 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 3}) = 55 ° 1 6^{'} 48 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 40 ° 2 7^{'} 33 " - 55 ° 1 6^{'} 48 " = 84 ° 1 5^{'} 39 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 1 , 7 9}{2 8 , 5} = 4, 97

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 1 9 \cdot 2 3}{4 \cdot 4 , 9 7 5 \cdot 2 8 , 5} = 11, 56

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 19, 717 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 16, 934 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 12, 679

Vypočítat další trojúhelník