Trojúhelník 15 20 26

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 15
b = 20
c = 26

Obsah trojúhelníku: S = 149,45771426865
Obvod trojúhelníku: o = 61
Semiperimeter (poloobvod): s = 30,5

Úhel ∠ A = α = 35,08880894599° = 35°5'17″ = 0,61224026893 rad
Úhel ∠ B = β = 50,03658856705° = 50°2'9″ = 0,87332909491 rad
Úhel ∠ C = γ = 94,87660248696° = 94°52'34″ = 1,65658990152 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 19,92876190249
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 14,94657142686
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 11,49767032836

Těžnice: t_a = 21,94988040676
Těžnice: t_b = 18,72216452268
Těžnice: t_c = 11,97991485507

Poloměr vepsané kružnice: r = 4.99002341864
Poloměr opsané kružnice: R = 13,047721852

Souřadnice vrcholů: A[26; 0] B[0; 0] C[9,63546153846; 11,49767032836]
Těžiště: T[11,87882051282; 3,83222344279]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13; -1,10990135742]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10,5; 4.99002341864]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 144,91219105401° = 144°54'43″ = 0,61224026893 rad
∠ B' = β' = 129,96441143295° = 129°57'51″ = 0,87332909491 rad
∠ C' = γ' = 85,12439751304° = 85°7'26″ = 1,65658990152 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 15 b = 20 c = 26

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 15 + 20 + 26 = 61

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 1}{2} = 30, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 30, 5 (30, 5 - 15) (30, 5 - 20) (30, 5 - 26) S = 22337, 44 = 149, 46

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 9 , 4 6}{1 5} = 19, 93 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 9 , 4 6}{2 0} = 14, 95 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 9 , 4 6}{2 6} = 11, 5

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 6 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 6}) = 35 ° 5^{'} 17 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 6 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 6}) = 50 ° 2^{'} 9 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 5^{'} 17 " - 50 ° 2^{'} 9 " = 94 ° 5 2^{'} 34 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 9 , 4 6}{3 0 , 5} = 4, 9

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 2 0 \cdot 2 6}{4 \cdot 4 , 9 \cdot 3 0 , 5} = 13, 05

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 21, 949 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 18, 722 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 11, 979

Vypočítat další trojúhelník