Trojúhelník 15 20 30

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 15
b = 20
c = 30

Obsah trojúhelníku: S = 133,31770562981
Obvod trojúhelníku: o = 65
Semiperimeter (poloobvod): s = 32,5

Úhel ∠ A = α = 26,38443297494° = 26°23'4″ = 0,46604934251 rad
Úhel ∠ B = β = 36,33660575146° = 36°20'10″ = 0,63441838408 rad
Úhel ∠ C = γ = 117,2879612736° = 117°16'47″ = 2,04769153877 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 17,77656075064
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 13,33217056298
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 8,88878037532

Těžnice: t_a = 24,3676985862
Těžnice: t_b = 21,50658131676
Těžnice: t_c = 9,35441434669

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,10220632707
Poloměr opsané kružnice: R = 16,87770603138

Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[12,08333333333; 8,88878037532]
Těžiště: T[14,02877777778; 2,96326012511]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; -7,73553193105]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[12,5; 4,10220632707]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 153,61656702506° = 153°36'56″ = 0,46604934251 rad
∠ B' = β' = 143,66439424854° = 143°39'50″ = 0,63441838408 rad
∠ C' = γ' = 62,7220387264° = 62°43'13″ = 2,04769153877 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 15 b = 20 c = 30

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 15 + 20 + 30 = 65

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 5}{2} = 32, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 32, 5 (32, 5 - 15) (32, 5 - 20) (32, 5 - 30) S = 17773, 44 = 133, 32

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 3 , 3 2}{1 5} = 17, 78 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 3 , 3 2}{2 0} = 13, 33 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 3 , 3 2}{3 0} = 8, 89

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 3 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 3 0}) = 26 ° 2 3^{'} 4 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 3 0}) = 36 ° 2 0^{'} 10 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 26 ° 2 3^{'} 4 " - 36 ° 2 0^{'} 10 " = 117 ° 1 6^{'} 47 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 3 , 3 2}{3 2 , 5} = 4, 1

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 2 0 \cdot 3 0}{4 \cdot 4 , 1 0 2 \cdot 3 2 , 5} = 16, 88

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 24, 367 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 21, 506 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 9, 354

Vypočítat další trojúhelník