Trojúhelník 15 25 30

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 15
b = 25
c = 30

Obsah trojúhelníku: S = 187,08328693387
Obvod trojúhelníku: o = 70
Semiperimeter (poloobvod): s = 35

Úhel ∠ A = α = 29,92664348666° = 29°55'35″ = 0,52223148218 rad
Úhel ∠ B = β = 56,25110114041° = 56°15'4″ = 0,98217653566 rad
Úhel ∠ C = γ = 93,82325537293° = 93°49'21″ = 1,63875124752 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 24,94443825785
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 14,96766295471
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 12,47221912892

Těžnice: t_a = 26,57553645318
Těžnice: t_b = 20,15656443707
Těžnice: t_c = 14,14221356237

Poloměr vepsané kružnice: r = 5,34552248382
Poloměr opsané kružnice: R = 15,03334448576

Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[8,33333333333; 12,47221912892]
Těžiště: T[12,77877777778; 4,15773970964]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; -1,00222296572]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10; 5,34552248382]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 150,07435651334° = 150°4'25″ = 0,52223148218 rad
∠ B' = β' = 123,74989885959° = 123°44'56″ = 0,98217653566 rad
∠ C' = γ' = 86,17774462707° = 86°10'39″ = 1,63875124752 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 15 b = 25 c = 30

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 15 + 25 + 30 = 70

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 0}{2} = 35

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 35 (35 - 15) (35 - 25) (35 - 30) S = 35000 = 187, 08

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 8 7 , 0 8}{1 5} = 24, 94 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 8 7 , 0 8}{2 5} = 14, 97 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 8 7 , 0 8}{3 0} = 12, 47

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 5 ^{2} + 3 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 2 5 \cdot 3 0}) = 29 ° 5 5^{'} 35 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 3 0}) = 56 ° 1 5^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 29 ° 5 5^{'} 35 " - 56 ° 1 5^{'} 4 " = 93 ° 4 9^{'} 21 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 8 7 , 0 8}{3 5} = 5, 35

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 2 5 \cdot 3 0}{4 \cdot 5 , 3 4 5 \cdot 3 5} = 15, 03

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 26, 575 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 20, 156 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 14, 142

Vypočítat další trojúhelník