Trojúhelník 15 27 29

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 15
b = 27
c = 29

Obsah trojúhelníku: S = 200,52197932873
Obvod trojúhelníku: o = 71
Semiperimeter (poloobvod): s = 35,5

Úhel ∠ A = α = 30,80993733352° = 30°48'34″ = 0,53877250052 rad
Úhel ∠ B = β = 67,21098982792° = 67°12'36″ = 1,17330340149 rad
Úhel ∠ C = γ = 81,98107283856° = 81°58'51″ = 1,43108336335 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 26,73659724383
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 14,85333180213
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 13,82989512612

Těžnice: t_a = 26,99553699734
Těžnice: t_b = 18,72883208003
Těžnice: t_c = 16,33224829711

Poloměr vepsané kružnice: r = 5,64884448813
Poloměr opsané kružnice: R = 14,64331928333

Souřadnice vrcholů: A[29; 0] B[0; 0] C[5,81103448276; 13,82989512612]
Těžiště: T[11,60334482759; 4,61096504204]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14,5; 2,04328157903]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8,5; 5,64884448813]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 149,19106266648° = 149°11'26″ = 0,53877250052 rad
∠ B' = β' = 112,79901017208° = 112°47'24″ = 1,17330340149 rad
∠ C' = γ' = 98,01992716144° = 98°1'9″ = 1,43108336335 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 15 b = 27 c = 29

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 15 + 27 + 29 = 71

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 1}{2} = 35, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 35, 5 (35, 5 - 15) (35, 5 - 27) (35, 5 - 29) S = 40208, 19 = 200, 52

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 0 0 , 5 2}{1 5} = 26, 74 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 0 0 , 5 2}{2 7} = 14, 85 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 0 0 , 5 2}{2 9} = 13, 83

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 7 ^{2} + 2 9 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 2 7 \cdot 2 9}) = 30 ° 4 8^{'} 34 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 9}) = 67 ° 1 2^{'} 36 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 30 ° 4 8^{'} 34 " - 67 ° 1 2^{'} 36 " = 81 ° 5 8^{'} 51 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 0 0 , 5 2}{3 5 , 5} = 5, 65

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 2 7 \cdot 2 9}{4 \cdot 5 , 6 4 8 \cdot 3 5 , 5} = 14, 64

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 26, 995 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 18, 728 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 16, 332

Vypočítat další trojúhelník