Trojúhelník 16 16 20

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 16
b = 16
c = 20

Obsah trojúhelníku: S = 124.9899959968
Obvod trojúhelníku: o = 52
Semiperimeter (poloobvod): s = 26

Úhel ∠ A = α = 51,31878125465° = 51°19'4″ = 0,89656647939 rad
Úhel ∠ B = β = 51,31878125465° = 51°19'4″ = 0,89656647939 rad
Úhel ∠ C = γ = 77,3644374907° = 77°21'52″ = 1,35502630659 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 15,6122494996
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 15,6122494996
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 12,49899959968

Těžnice: t_a = 16,24880768093
Těžnice: t_b = 16,24880768093
Těžnice: t_c = 12,49899959968

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,80438446142
Poloměr opsané kružnice: R = 10,24882018435

Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[10; 12,49899959968]
Těžiště: T[10; 4,16333319989]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; 2,24217941533]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10; 4,80438446142]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 128,68221874535° = 128°40'56″ = 0,89656647939 rad
∠ B' = β' = 128,68221874535° = 128°40'56″ = 0,89656647939 rad
∠ C' = γ' = 102,6365625093° = 102°38'8″ = 1,35502630659 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 16 b = 16 c = 20

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 16 + 16 + 20 = 52

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 2}{2} = 26

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 26 (26 - 16) (26 - 16) (26 - 20) S = 15600 = 124, 9

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 4 , 9}{1 6} = 15, 61 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 4 , 9}{1 6} = 15, 61 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 4 , 9}{2 0} = 12, 49

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 0}) = 51 ° 1 9^{'} 4 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 0}) = 51 ° 1 9^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 51 ° 1 9^{'} 4 " - 51 ° 1 9^{'} 4 " = 77 ° 2 1^{'} 52 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 4 , 9}{2 6} = 4, 8

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 6 \cdot 1 6 \cdot 2 0}{4 \cdot 4 , 8 0 4 \cdot 2 6} = 10, 25

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 16, 248 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 16, 248 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 12, 49

Vypočítat další trojúhelník