Trojúhelník 16 17 20

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 16
b = 17
c = 20

Obsah trojúhelníku: S = 131,08798897619
Obvod trojúhelníku: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5

Úhel ∠ A = α = 50,44990073704° = 50°26'56″ = 0,8810501283 rad
Úhel ∠ B = β = 55,01097173583° = 55°35″ = 0,96601006885 rad
Úhel ∠ C = γ = 74,54112752713° = 74°32'29″ = 1,30109906821 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 16,38549862202
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 15,42111635014
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 13,10879889762

Těžnice: t_a = 16,74881342244
Těžnice: t_b = 15,99221855917
Těžnice: t_c = 13,13439255366

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,94664109344
Poloměr opsané kružnice: R = 10,37553520275

Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[9,175; 13,10879889762]
Těžiště: T[9,725; 4,36993296587]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; 2,76554890514]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9,5; 4,94664109344]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 129,55109926296° = 129°33'4″ = 0,8810501283 rad
∠ B' = β' = 124,99902826417° = 124°59'25″ = 0,96601006885 rad
∠ C' = γ' = 105,45987247287° = 105°27'31″ = 1,30109906821 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 16 b = 17 c = 20

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 16 + 17 + 20 = 53

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 3}{2} = 26, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 26, 5 (26, 5 - 16) (26, 5 - 17) (26, 5 - 20) S = 17181, 94 = 131, 08

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 1 , 0 8}{1 6} = 16, 38 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 1 , 0 8}{1 7} = 15, 42 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 1 , 0 8}{2 0} = 13, 11

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 0}) = 50 ° 2 6^{'} 56 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 0}) = 55 ° 35 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 50 ° 2 6^{'} 56 " - 55 ° 35 " = 74 ° 3 2^{'} 29 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 1 , 0 8}{2 6 , 5} = 4, 95

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 6 \cdot 1 7 \cdot 2 0}{4 \cdot 4 , 9 4 6 \cdot 2 6 , 5} = 10, 38

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 16, 748 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 15, 992 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 13, 134

Vypočítat další trojúhelník