Trojúhelník 16 18 24

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 16
b = 18
c = 24

Obsah trojúhelníku: S = 143,99765277359
Obvod trojúhelníku: o = 58
Semiperimeter (poloobvod): s = 29

Úhel ∠ A = α = 41,80990791939° = 41°48'33″ = 0,73297060892 rad
Úhel ∠ B = β = 48,58988113619° = 48°35'20″ = 0,84880347379 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,60221094442° = 89°36'8″ = 1,56438518265 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 187,999565967
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 165,9996141929
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 121,9997106447

Těžnice: t_a = 19,64768827044
Těžnice: t_b = 18,30330052177
Těžnice: t_c = 12,08330459736

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,96553975081
Poloměr opsané kružnice: R = 122,0002893623

Souřadnice vrcholů: A[24; 0] B[0; 0] C[10,58333333333; 121,9997106447]
Těžiště: T[11,52877777778; 43,9999035482]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12; 0,08333353428]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11; 4,96553975081]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 138,19109208061° = 138°11'27″ = 0,73297060892 rad
∠ B' = β' = 131,41111886381° = 131°24'40″ = 0,84880347379 rad
∠ C' = γ' = 90,39878905558° = 90°23'52″ = 1,56438518265 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 16 b = 18 c = 24

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 16 + 18 + 24 = 58

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 8}{2} = 29

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 29 (29 - 16) (29 - 18) (29 - 24) S = 20735 = 144

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 4}{1 6} = 18 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 4}{1 8} = 16 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 4}{2 4} = 12

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 4}) = 41 ° 4 8^{'} 33 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 4}) = 48 ° 3 5^{'} 20 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 4 8^{'} 33 " - 48 ° 3 5^{'} 20 " = 89 ° 3 6^{'} 8 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 4}{2 9} = 4, 97

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 6 \cdot 1 8 \cdot 2 4}{4 \cdot 4 , 9 6 5 \cdot 2 9} = 12

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 19, 647 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 18, 303 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 12, 083

Vypočítat další trojúhelník