Trojúhelník 16 18 25

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 16
b = 18
c = 25

Obsah trojúhelníku: S = 143,56598742685
Obvod trojúhelníku: o = 59
Semiperimeter (poloobvod): s = 29,5

Úhel ∠ A = α = 39,6466111147° = 39°38'46″ = 0,69219551751 rad
Úhel ∠ B = β = 45,8733090067° = 45°52'23″ = 0,80106364597 rad
Úhel ∠ C = γ = 94,4810798786° = 94°28'51″ = 1,64990010187 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 17,94549842836
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 15,95110971409
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 11,48547899415

Těžnice: t_a = 20,26107995894
Těžnice: t_b = 18,96604852259
Těžnice: t_c = 11,56550335062

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,86664364159
Poloměr opsané kružnice: R = 12,53883224886

Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[11,14; 11,48547899415]
Těžiště: T[12,04766666667; 3,82882633138]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; -0,98795564444]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11,5; 4,86664364159]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 140,3543888853° = 140°21'14″ = 0,69219551751 rad
∠ B' = β' = 134,1276909933° = 134°7'37″ = 0,80106364597 rad
∠ C' = γ' = 85,5199201214° = 85°31'9″ = 1,64990010187 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 16 b = 18 c = 25

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 16 + 18 + 25 = 59

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 9}{2} = 29, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 29, 5 (29, 5 - 16) (29, 5 - 18) (29, 5 - 25) S = 20609, 44 = 143, 56

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 3 , 5 6}{1 6} = 17, 94 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 3 , 5 6}{1 8} = 15, 95 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 3 , 5 6}{2 5} = 11, 48

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 5}) = 39 ° 3 8^{'} 46 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 5}) = 45 ° 5 2^{'} 23 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 39 ° 3 8^{'} 46 " - 45 ° 5 2^{'} 23 " = 94 ° 2 8^{'} 51 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 3 , 5 6}{2 9 , 5} = 4, 87

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 6 \cdot 1 8 \cdot 2 5}{4 \cdot 4 , 8 6 6 \cdot 2 9 , 5} = 12, 54

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 20, 261 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 18, 96 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 11, 565

Vypočítat další trojúhelník