Trojúhelník 16 20 25

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 16
b = 20
c = 25

Obsah trojúhelníku: S = 159,81221944659
Obvod trojúhelníku: o = 61
Semiperimeter (poloobvod): s = 30,5

Úhel ∠ A = α = 39,73658255397° = 39°44'9″ = 0,69435209867 rad
Úhel ∠ B = β = 53,04105251447° = 53°2'26″ = 0,92657318008 rad
Úhel ∠ C = γ = 87,22436493156° = 87°13'25″ = 1,52223398662 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 19,97765243082
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 15,98112194466
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 12,78549755573

Těžnice: t_a = 21,17878185845
Těžnice: t_b = 18,45326420872
Těžnice: t_c = 13,10553424221

Poloměr vepsané kružnice: r = 5,24397440808
Poloměr opsané kružnice: R = 12,51546895497

Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[9,62; 12,78549755573]
Těžiště: T[11,54; 4,26216585191]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; 0,60661802751]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10,5; 5,24397440808]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 140,26441744603° = 140°15'51″ = 0,69435209867 rad
∠ B' = β' = 126,95994748553° = 126°57'34″ = 0,92657318008 rad
∠ C' = γ' = 92,77663506844° = 92°46'35″ = 1,52223398662 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 16 b = 20 c = 25

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 16 + 20 + 25 = 61

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 1}{2} = 30, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 30, 5 (30, 5 - 16) (30, 5 - 20) (30, 5 - 25) S = 25539, 94 = 159, 81

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 5 9 , 8 1}{1 6} = 19, 98 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 5 9 , 8 1}{2 0} = 15, 98 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 5 9 , 8 1}{2 5} = 12, 78

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 5}) = 39 ° 4 4^{'} 9 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 5}) = 53 ° 2^{'} 26 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 39 ° 4 4^{'} 9 " - 53 ° 2^{'} 26 " = 87 ° 1 3^{'} 25 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 5 9 , 8 1}{3 0 , 5} = 5, 24

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 6 \cdot 2 0 \cdot 2 5}{4 \cdot 5 , 2 4 \cdot 3 0 , 5} = 12, 51

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 21, 178 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 18, 453 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 13, 105

Vypočítat další trojúhelník