Trojúhelník 16 21 26
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 16
b = 21
c = 26
Obsah trojúhelníku: S = 167,91879487131
Obvod trojúhelníku: o = 63
Semiperimeter (poloobvod): s = 31,5
Úhel ∠ A = α = 37,95880285807° = 37°57'29″ = 0,66224925763 rad
Úhel ∠ B = β = 53,83327560786° = 53°49'58″ = 0,9439558839 rad
Úhel ∠ C = γ = 88,20992153407° = 88°12'33″ = 1,54395412383 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 20,99897435891
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 15,99221855917
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 12,91767652856
Těžnice: ta = 22,23773559579
Těžnice: tb = 18,86113361139
Těžnice: tc = 13,3987761007
Poloměr vepsané kružnice: r = 5,33107285306
Poloměr opsané kružnice: R = 13,00663523092
Souřadnice vrcholů: A[26; 0] B[0; 0] C[9,44223076923; 12,91767652856]
Těžiště: T[11,81441025641; 4,30655884285]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13; 0,40664485097]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10,5; 5,33107285306]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 142,04219714193° = 142°2'31″ = 0,66224925763 rad
∠ B' = β' = 126,16772439214° = 126°10'2″ = 0,9439558839 rad
∠ C' = γ' = 91,79107846593° = 91°47'27″ = 1,54395412383 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=16 b=21 c=26
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=16+21+26=63
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=263=31,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=31,5(31,5−16)(31,5−21)(31,5−26) S=28196,44=167,92
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=162⋅ 167,92=20,99 vb=b2 S=212⋅ 167,92=15,99 vc=c2 S=262⋅ 167,92=12,92
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 21⋅ 26212+262−162)=37°57′29" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 16⋅ 26162+262−212)=53°49′58" γ=180°−α−β=180°−37°57′29"−53°49′58"=88°12′33"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=31,5167,92=5,33
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 5,331⋅ 31,516⋅ 21⋅ 26=13,01
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 212+2⋅ 262−162=22,237 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 262+2⋅ 162−212=18,861 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 162+2⋅ 212−262=13,398
Vypočítat další trojúhelník