Trojúhelník 16 23 28

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 16
b = 23
c = 28

Obsah trojúhelníku: S = 1843,999830163
Obvod trojúhelníku: o = 67
Semiperimeter (poloobvod): s = 33,5

Úhel ∠ A = α = 34,85498677543° = 34°51' = 0,60882449362 rad
Úhel ∠ B = β = 55,22879797962° = 55°13'41″ = 0,96439100867 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,92221524495° = 89°55'20″ = 1,56994376307 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 232,9999787704
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 165,9999852316
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 13,14328450116

Těžnice: t_a = 24,34113228893
Těžnice: t_b = 19,69113686675
Těžnice: t_c = 14,01878457689

Poloměr vepsané kružnice: r = 5,49325322437
Poloměr opsané kružnice: R = 144,0000129224

Souřadnice vrcholů: A[28; 0] B[0; 0] C[9,125; 13,14328450116]
Těžiště: T[12,375; 4,38109483372]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14; 0,01990217567]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10,5; 5,49325322437]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 145,15501322457° = 145°9' = 0,60882449362 rad
∠ B' = β' = 124,77220202038° = 124°46'19″ = 0,96439100867 rad
∠ C' = γ' = 90,07878475505° = 90°4'40″ = 1,56994376307 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 16 b = 23 c = 28

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 16 + 23 + 28 = 67

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 7}{2} = 33, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 33, 5 (33, 5 - 16) (33, 5 - 23) (33, 5 - 28) S = 33855, 94 = 184

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 8 4}{1 6} = 23 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 8 4}{2 3} = 16 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 8 4}{2 8} = 13, 14

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 2 8 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 2 8}) = 34 ° 5 1^{'} b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 8 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 8}) = 55 ° 1 3^{'} 41 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 34 ° 5 1^{'} - 55 ° 1 3^{'} 41 " = 89 ° 5 5^{'} 20 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 8 4}{3 3 , 5} = 5, 49

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 6 \cdot 2 3 \cdot 2 8}{4 \cdot 5 , 4 9 3 \cdot 3 3 , 5} = 14

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 24, 341 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 19, 691 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 14, 018

Vypočítat další trojúhelník