Trojúhelník 17 17 20
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 17
b = 17
c = 20
Obsah trojúhelníku: S = 137,47772708487
Obvod trojúhelníku: o = 54
Semiperimeter (poloobvod): s = 27
Úhel ∠ A = α = 53,96881209275° = 53°58'5″ = 0,94219214013 rad
Úhel ∠ B = β = 53,96881209275° = 53°58'5″ = 0,94219214013 rad
Úhel ∠ C = γ = 72,06437581449° = 72°3'50″ = 1,2587749851 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 16,17437965704
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 16,17437965704
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 13,74877270849
Těžnice: ta = 16,5
Těžnice: tb = 16,5
Těžnice: tc = 13,74877270849
Poloměr vepsané kružnice: r = 5,09217507722
Poloměr opsané kružnice: R = 10,51108283797
Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[10; 13,74877270849]
Těžiště: T[10; 4,5832575695]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; 3,23768987052]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10; 5,09217507722]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 126,03218790725° = 126°1'55″ = 0,94219214013 rad
∠ B' = β' = 126,03218790725° = 126°1'55″ = 0,94219214013 rad
∠ C' = γ' = 107,93662418551° = 107°56'10″ = 1,2587749851 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=17 b=17 c=20
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=17+17+20=54
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=254=27
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=27(27−17)(27−17)(27−20) S=18900=137,48
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=172⋅ 137,48=16,17 vb=b2 S=172⋅ 137,48=16,17 vc=c2 S=202⋅ 137,48=13,75
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 20172+202−172)=53°58′5" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 17⋅ 20172+202−172)=53°58′5" γ=180°−α−β=180°−53°58′5"−53°58′5"=72°3′50"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=27137,48=5,09
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 5,092⋅ 2717⋅ 17⋅ 20=10,51
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 202−172=16,5 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 172−172=16,5 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 172+2⋅ 172−202=13,748
Vypočítat další trojúhelník