Trojúhelník 17 17 22
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 17
b = 17
c = 22
Obsah trojúhelníku: S = 142,5766295365
Obvod trojúhelníku: o = 56
Semiperimeter (poloobvod): s = 28
Úhel ∠ A = α = 49,687978493° = 49°40'47″ = 0,86770758187 rad
Úhel ∠ B = β = 49,687978493° = 49°40'47″ = 0,86770758187 rad
Úhel ∠ C = γ = 80,64404301399° = 80°38'26″ = 1,40774410162 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 16,77436818076
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 16,77436818076
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 12,96114813968
Těžnice: ta = 17,72770979012
Těžnice: tb = 17,72770979012
Těžnice: tc = 12,96114813968
Poloměr vepsané kružnice: r = 5,09220105487
Poloměr opsané kružnice: R = 11,14884170348
Souřadnice vrcholů: A[22; 0] B[0; 0] C[11; 12,96114813968]
Těžiště: T[11; 4,32204937989]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11; 1,81330643621]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11; 5,09220105487]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 130,322021507° = 130°19'13″ = 0,86770758187 rad
∠ B' = β' = 130,322021507° = 130°19'13″ = 0,86770758187 rad
∠ C' = γ' = 99,36595698601° = 99°21'34″ = 1,40774410162 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=17 b=17 c=22
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=17+17+22=56
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=256=28
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=28(28−17)(28−17)(28−22) S=20328=142,58
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=172⋅ 142,58=16,77 vb=b2 S=172⋅ 142,58=16,77 vc=c2 S=222⋅ 142,58=12,96
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 22172+222−172)=49°40′47" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 17⋅ 22172+222−172)=49°40′47" γ=180°−α−β=180°−49°40′47"−49°40′47"=80°38′26"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=28142,58=5,09
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 5,092⋅ 2817⋅ 17⋅ 22=11,15
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 222−172=17,727 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 222+2⋅ 172−172=17,727 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 172+2⋅ 172−222=12,961
Vypočítat další trojúhelník