Trojúhelník 17 17 30
Tupouhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 17
b = 17
c = 30
Obsah trojúhelníku: S = 120
Obvod trojúhelníku: o = 64
Semiperimeter (poloobvod): s = 32
Úhel ∠ A = α = 28,07224869359° = 28°4'21″ = 0,49899573263 rad
Úhel ∠ B = β = 28,07224869359° = 28°4'21″ = 0,49899573263 rad
Úhel ∠ C = γ = 123,85550261283° = 123°51'18″ = 2,16216780011 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 14,11876470588
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 14,11876470588
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 8
Těžnice: ta = 22,85327897641
Těžnice: tb = 22,85327897641
Těžnice: tc = 8
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,75
Poloměr opsané kružnice: R = 18,06325
Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[15; 8]
Těžiště: T[15; 2,66766666667]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; -10,06325]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[15; 3,75]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 151,92875130642° = 151°55'39″ = 0,49899573263 rad
∠ B' = β' = 151,92875130642° = 151°55'39″ = 0,49899573263 rad
∠ C' = γ' = 56,14549738717° = 56°8'42″ = 2,16216780011 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=17 b=17 c=30
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=17+17+30=64
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=264=32
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=32(32−17)(32−17)(32−30) S=14400=120
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=172⋅ 120=14,12 vb=b2 S=172⋅ 120=14,12 vc=c2 S=302⋅ 120=8
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 30172+302−172)=28°4′21" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 17⋅ 30172+302−172)=28°4′21" γ=180°−α−β=180°−28°4′21"−28°4′21"=123°51′18"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=32120=3,75
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,75⋅ 3217⋅ 17⋅ 30=18,06
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 302−172=22,853 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 172−172=22,853 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 172+2⋅ 172−302=8
Vypočítat další trojúhelník