Trojúhelník 17 20 27

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 17
b = 20
c = 27

Obsah trojúhelníku: S = 169,70656274848
Obvod trojúhelníku: o = 64
Semiperimeter (poloobvod): s = 32

Úhel ∠ A = α = 38,9422441269° = 38°56'33″ = 0,68796738189 rad
Úhel ∠ B = β = 47,68552720476° = 47°41'7″ = 0,83222650019 rad
Úhel ∠ C = γ = 93,37222866834° = 93°22'20″ = 1,63296538327 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 19,96553679394
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 16,97105627485
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 12,57107872211

Těžnice: t_a = 22,18767077323
Těžnice: t_b = 20,22437484162
Těžnice: t_c = 12,73877392029

Poloměr vepsané kružnice: r = 5,30333008589
Poloměr opsané kružnice: R = 13,52334171902

Souřadnice vrcholů: A[27; 0] B[0; 0] C[11,44444444444; 12,57107872211]
Těžiště: T[12,81548148148; 4,1990262407]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13,5; -0,79554951288]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[12; 5,30333008589]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 141,0587558731° = 141°3'27″ = 0,68796738189 rad
∠ B' = β' = 132,31547279524° = 132°18'53″ = 0,83222650019 rad
∠ C' = γ' = 86,62877133166° = 86°37'40″ = 1,63296538327 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 17 b = 20 c = 27

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 17 + 20 + 27 = 64

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 4}{2} = 32

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 32 (32 - 17) (32 - 20) (32 - 27) S = 28800 = 169, 71

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 6 9 , 7 1}{1 7} = 19, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 6 9 , 7 1}{2 0} = 16, 97 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 6 9 , 7 1}{2 7} = 12, 57

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 7 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 7}) = 38 ° 5 6^{'} 33 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 7}) = 47 ° 4 1^{'} 7 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 38 ° 5 6^{'} 33 " - 47 ° 4 1^{'} 7 " = 93 ° 2 2^{'} 20 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 6 9 , 7 1}{3 2} = 5, 3

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 7 \cdot 2 0 \cdot 2 7}{4 \cdot 5 , 3 0 3 \cdot 3 2} = 13, 52

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 22, 187 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 20, 224 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 12, 738

Vypočítat další trojúhelník