Trojúhelník 17 21 23

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 17
b = 21
c = 23

Obsah trojúhelníku: S = 171,28110190885
Obvod trojúhelníku: o = 61
Semiperimeter (poloobvod): s = 30,5

Úhel ∠ A = α = 45,17329648542° = 45°10'23″ = 0,78884169696 rad
Úhel ∠ B = β = 61,17875376084° = 61°10'39″ = 1,06877494595 rad
Úhel ∠ C = γ = 73,64994975375° = 73°38'58″ = 1,28554262245 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 20,15107081281
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 16,31224780084
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 14,89440016599

Těžnice: t_a = 20,31662496539
Těžnice: t_b = 17,28443860174
Těžnice: t_c = 15,25661463024

Poloměr vepsané kružnice: r = 5,61657711177
Poloměr opsané kružnice: R = 11,98546904866

Souřadnice vrcholů: A[23; 0] B[0; 0] C[8,19656521739; 14,89440016599]
Těžiště: T[10,39985507246; 4,965466722]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11,5; 3,37438414395]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9,5; 5,61657711177]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 134,82770351458° = 134°49'37″ = 0,78884169696 rad
∠ B' = β' = 118,82224623917° = 118°49'21″ = 1,06877494595 rad
∠ C' = γ' = 106,35105024626° = 106°21'2″ = 1,28554262245 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 17 b = 21 c = 23

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 17 + 21 + 23 = 61

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 1}{2} = 30, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 30, 5 (30, 5 - 17) (30, 5 - 21) (30, 5 - 23) S = 29337, 19 = 171, 28

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 7 1 , 2 8}{1 7} = 20, 15 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 7 1 , 2 8}{2 1} = 16, 31 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 7 1 , 2 8}{2 3} = 14, 89

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 3}) = 45 ° 1 0^{'} 23 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 3 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 3}) = 61 ° 1 0^{'} 39 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 45 ° 1 0^{'} 23 " - 61 ° 1 0^{'} 39 " = 73 ° 3 8^{'} 58 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 7 1 , 2 8}{3 0 , 5} = 5, 62

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 7 \cdot 2 1 \cdot 2 3}{4 \cdot 5 , 6 1 6 \cdot 3 0 , 5} = 11, 98

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 20, 316 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 17, 284 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 15, 256

Vypočítat další trojúhelník