Trojúhelník 17 23 29
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 17
b = 23
c = 29
Obsah trojúhelníku: S = 195,41554228816
Obvod trojúhelníku: o = 69
Semiperimeter (poloobvod): s = 34,5
Úhel ∠ A = α = 35,87703643042° = 35°52'13″ = 0,6266055961 rad
Úhel ∠ B = β = 52,44442226556° = 52°26'39″ = 0,9155324359 rad
Úhel ∠ C = γ = 91,68554130402° = 91°41'7″ = 1.66002123336 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 22,99900497508
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 16,9932645468
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 13,4776925716
Těžnice: ta = 24,7543787589
Těžnice: tb = 20,80326440627
Těžnice: tc = 14,09878721799
Poloměr vepsané kružnice: r = 5,6644215156
Poloměr opsané kružnice: R = 14,50662756982
Souřadnice vrcholů: A[29; 0] B[0; 0] C[10,36220689655; 13,4776925716]
Těžiště: T[13,12106896552; 4,4922308572]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14,5; -0,42766551676]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11,5; 5,6644215156]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 144,13296356958° = 144°7'47″ = 0,6266055961 rad
∠ B' = β' = 127,55657773444° = 127°33'21″ = 0,9155324359 rad
∠ C' = γ' = 88,31545869598° = 88°18'53″ = 1.66002123336 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=17 b=23 c=29
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=17+23+29=69
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=269=34,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=34,5(34,5−17)(34,5−23)(34,5−29) S=38187,19=195,42
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=172⋅ 195,42=22,99 vb=b2 S=232⋅ 195,42=16,99 vc=c2 S=292⋅ 195,42=13,48
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 23⋅ 29232+292−172)=35°52′13" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 17⋅ 29172+292−232)=52°26′39" γ=180°−α−β=180°−35°52′13"−52°26′39"=91°41′7"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=34,5195,42=5,66
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 5,664⋅ 34,517⋅ 23⋅ 29=14,51
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 232+2⋅ 292−172=24,754 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 292+2⋅ 172−232=20,803 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 172+2⋅ 232−292=14,098
Vypočítat další trojúhelník