Trojúhelník 17 23 30
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 17
b = 23
c = 30
Obsah trojúhelníku: S = 194,42222209522
Obvod trojúhelníku: o = 70
Semiperimeter (poloobvod): s = 35
Úhel ∠ A = α = 34,30111527568° = 34°18'4″ = 0,59986680528 rad
Úhel ∠ B = β = 49,687978493° = 49°40'47″ = 0,86770758187 rad
Úhel ∠ C = γ = 96,01990623132° = 96°1'9″ = 1,6765848782 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 22,8733202465
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 16,90662800828
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 12,96114813968
Těžnice: ta = 25,34326517949
Těžnice: tb = 21,5
Těžnice: tc = 13,56546599663
Poloměr vepsané kružnice: r = 5,55549205986
Poloměr opsané kružnice: R = 15,08331524588
Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[11; 12,96114813968]
Těžiště: T[13,66766666667; 4,32204937989]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; -1,58216093371]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[12; 5,55549205986]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 145,69988472432° = 145°41'56″ = 0,59986680528 rad
∠ B' = β' = 130,322021507° = 130°19'13″ = 0,86770758187 rad
∠ C' = γ' = 83,98109376868° = 83°58'51″ = 1,6765848782 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=17 b=23 c=30
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=17+23+30=70
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=270=35
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=35(35−17)(35−23)(35−30) S=37800=194,42
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=172⋅ 194,42=22,87 vb=b2 S=232⋅ 194,42=16,91 vc=c2 S=302⋅ 194,42=12,96
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 23⋅ 30232+302−172)=34°18′4" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 17⋅ 30172+302−232)=49°40′47" γ=180°−α−β=180°−34°18′4"−49°40′47"=96°1′9"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=35194,42=5,55
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 5,555⋅ 3517⋅ 23⋅ 30=15,08
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 232+2⋅ 302−172=25,343 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 172−232=21,5 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 172+2⋅ 232−302=13,565
Vypočítat další trojúhelník