Trojúhelník 18 18 22
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 18
b = 18
c = 22
Obsah trojúhelníku: S = 156,72658753365
Obvod trojúhelníku: o = 58
Semiperimeter (poloobvod): s = 29
Úhel ∠ A = α = 52,33301130357° = 52°19'48″ = 0,91333327704 rad
Úhel ∠ B = β = 52,33301130357° = 52°19'48″ = 0,91333327704 rad
Úhel ∠ C = γ = 75,34397739287° = 75°20'23″ = 1,31549271128 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 17,41439861485
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 17,41439861485
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 14,24878068488
Těžnice: ta = 17,97222007556
Těžnice: tb = 17,97222007556
Těžnice: tc = 14,24878068488
Poloměr vepsané kružnice: r = 5,40443405288
Poloměr opsané kružnice: R = 11,37701709828
Souřadnice vrcholů: A[22; 0] B[0; 0] C[11; 14,24878068488]
Těžiště: T[11; 4,74992689496]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11; 2,8787635866]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11; 5,40443405288]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 127,67698869643° = 127°40'12″ = 0,91333327704 rad
∠ B' = β' = 127,67698869643° = 127°40'12″ = 0,91333327704 rad
∠ C' = γ' = 104,66602260713° = 104°39'37″ = 1,31549271128 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=18 b=18 c=22
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=18+18+22=58
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=258=29
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=29(29−18)(29−18)(29−22) S=24563=156,73
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=182⋅ 156,73=17,41 vb=b2 S=182⋅ 156,73=17,41 vc=c2 S=222⋅ 156,73=14,25
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 18⋅ 22182+222−182)=52°19′48" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 18⋅ 22182+222−182)=52°19′48" γ=180°−α−β=180°−52°19′48"−52°19′48"=75°20′23"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=29156,73=5,4
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 5,404⋅ 2918⋅ 18⋅ 22=11,37
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 182+2⋅ 222−182=17,972 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 222+2⋅ 182−182=17,972 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 182+2⋅ 182−222=14,248
Vypočítat další trojúhelník