Trojúhelník 18 20 20

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 18
b = 20
c = 20

Obsah trojúhelníku: S = 160,74551398954
Obvod trojúhelníku: o = 58
Semiperimeter (poloobvod): s = 29

Úhel ∠ A = α = 53,48773679008° = 53°29'15″ = 0,93435306781 rad
Úhel ∠ B = β = 63,25663160496° = 63°15'23″ = 1,10440309877 rad
Úhel ∠ C = γ = 63,25663160496° = 63°15'23″ = 1,10440309877 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 17,86105710995
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 16,07545139895
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 16,07545139895

Těžnice: t_a = 17,86105710995
Těžnice: t_b = 16,18664140562
Těžnice: t_c = 16,18664140562

Poloměr vepsané kružnice: r = 5,54329358585
Poloměr opsané kružnice: R = 11,19878502191

Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[8,1; 16,07545139895]
Těžiště: T[9,36766666667; 5,35881713298]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; 5,03990325986]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9; 5,54329358585]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 126,51326320992° = 126°30'45″ = 0,93435306781 rad
∠ B' = β' = 116,74436839504° = 116°44'37″ = 1,10440309877 rad
∠ C' = γ' = 116,74436839504° = 116°44'37″ = 1,10440309877 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 18 b = 20 c = 20

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 18 + 20 + 20 = 58

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 8}{2} = 29

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 29 (29 - 18) (29 - 20) (29 - 20) S = 25839 = 160, 75

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 6 0 , 7 5}{1 8} = 17, 86 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 6 0 , 7 5}{2 0} = 16, 07 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 6 0 , 7 5}{2 0} = 16, 07

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 0}) = 53 ° 2 9^{'} 15 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 0}) = 63 ° 1 5^{'} 23 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 53 ° 2 9^{'} 15 " - 63 ° 1 5^{'} 23 " = 63 ° 1 5^{'} 23 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 6 0 , 7 5}{2 9} = 5, 54

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 8 \cdot 2 0 \cdot 2 0}{4 \cdot 5 , 5 4 3 \cdot 2 9} = 11, 2

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 17, 861 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 16, 186 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 16, 186

Vypočítat další trojúhelník