Trojúhelník 18 20 26
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 18
b = 20
c = 26
Obsah trojúhelníku: S = 179.65995545651
Obvod trojúhelníku: o = 64
Semiperimeter (poloobvod): s = 32
Úhel ∠ A = α = 43,69108952793° = 43°41'27″ = 0,76325499758 rad
Úhel ∠ B = β = 50,132165845° = 50°7'54″ = 0,87549624994 rad
Úhel ∠ C = γ = 86,17774462707° = 86°10'39″ = 1,50440801784 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 19,95655060628
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 17,96599554565
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 13,81553503512
Těžnice: ta = 21,37875583264
Těžnice: tb = 20
Těžnice: tc = 13,89224439894
Poloměr vepsané kružnice: r = 5,61224860802
Poloměr opsané kružnice: R = 13,02989855432
Souřadnice vrcholů: A[26; 0] B[0; 0] C[11,53884615385; 13,81553503512]
Těžiště: T[12,51328205128; 4,60551167837]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13; 0,86985990362]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[12; 5,61224860802]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 136,30991047207° = 136°18'33″ = 0,76325499758 rad
∠ B' = β' = 129,868834155° = 129°52'6″ = 0,87549624994 rad
∠ C' = γ' = 93,82325537293° = 93°49'21″ = 1,50440801784 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=18 b=20 c=26
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=18+20+26=64
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=264=32
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=32(32−18)(32−20)(32−26) S=32256=179,6
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=182⋅ 179,6=19,96 vb=b2 S=202⋅ 179,6=17,96 vc=c2 S=262⋅ 179,6=13,82
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 26202+262−182)=43°41′27" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 18⋅ 26182+262−202)=50°7′54" γ=180°−α−β=180°−43°41′27"−50°7′54"=86°10′39"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=32179,6=5,61
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 5,612⋅ 3218⋅ 20⋅ 26=13,03
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 262−182=21,378 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 262+2⋅ 182−202=20 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 182+2⋅ 202−262=13,892
Vypočítat další trojúhelník