Trojúhelník 18 21 23

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 18
b = 21
c = 23

Obsah trojúhelníku: S = 179,55550054997
Obvod trojúhelníku: o = 62
Semiperimeter (poloobvod): s = 31

Úhel ∠ A = α = 48,03303348284° = 48°1'49″ = 0,83882874836 rad
Úhel ∠ B = β = 60,16596772223° = 60°9'35″ = 1,05499844445 rad
Úhel ∠ C = γ = 71,81099879493° = 71°48'36″ = 1,25333207255 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 19,95105561666
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 17.11004767143
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 15,61334787391

Těžnice: t_a = 20.10997512422
Těžnice: t_b = 17,78334192438
Těžnice: t_c = 15,81992920196

Poloměr vepsané kružnice: r = 5,79220969516
Poloměr opsané kružnice: R = 12,10549256965

Souřadnice vrcholů: A[23; 0] B[0; 0] C[8,95765217391; 15,61334787391]
Těžiště: T[10,6522173913; 5,2044492913]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11,5; 3,77987863285]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10; 5,79220969516]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 131,97696651716° = 131°58'11″ = 0,83882874836 rad
∠ B' = β' = 119,84403227777° = 119°50'25″ = 1,05499844445 rad
∠ C' = γ' = 108,19900120507° = 108°11'24″ = 1,25333207255 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 18 b = 21 c = 23

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 18 + 21 + 23 = 62

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 2}{2} = 31

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 31 (31 - 18) (31 - 21) (31 - 23) S = 32240 = 179, 56

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 7 9 , 5 6}{1 8} = 19, 95 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 7 9 , 5 6}{2 1} = 17, 1 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 7 9 , 5 6}{2 3} = 15, 61

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 3}) = 48 ° 1^{'} 49 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 3 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 3}) = 60 ° 9^{'} 35 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 48 ° 1^{'} 49 " - 60 ° 9^{'} 35 " = 71 ° 4 8^{'} 36 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 7 9 , 5 6}{3 1} = 5, 79

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 8 \cdot 2 1 \cdot 2 3}{4 \cdot 5 , 7 9 2 \cdot 3 1} = 12, 1

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 20, 1 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 17, 783 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 15, 819

Vypočítat další trojúhelník