Trojúhelník 18 22 26
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 18
b = 22
c = 26
Obsah trojúhelníku: S = 195,23106328423
Obvod trojúhelníku: o = 66
Semiperimeter (poloobvod): s = 33
Úhel ∠ A = α = 43,04990798002° = 43°2'57″ = 0,75113481825 rad
Úhel ∠ B = β = 56,54549884266° = 56°32'42″ = 0,98768962235 rad
Úhel ∠ C = γ = 80,40659317731° = 80°24'21″ = 1,40333482476 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 21,6922292538
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 17,74882393493
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 15,01877409879
Těžnice: ta = 22,33883079037
Těžnice: tb = 19,46879223339
Těžnice: tc = 15,33297097168
Poloměr vepsané kružnice: r = 5,91660797831
Poloměr opsané kružnice: R = 13,18444063738
Souřadnice vrcholů: A[26; 0] B[0; 0] C[9,92330769231; 15,01877409879]
Těžiště: T[11,97443589744; 5,00659136626]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13; 2,19774010623]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11; 5,91660797831]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 136,95109201998° = 136°57'3″ = 0,75113481825 rad
∠ B' = β' = 123,45550115734° = 123°27'18″ = 0,98768962235 rad
∠ C' = γ' = 99,59440682269° = 99°35'39″ = 1,40333482476 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=18 b=22 c=26
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=18+22+26=66
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=266=33
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=33(33−18)(33−22)(33−26) S=38115=195,23
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=182⋅ 195,23=21,69 vb=b2 S=222⋅ 195,23=17,75 vc=c2 S=262⋅ 195,23=15,02
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 22⋅ 26222+262−182)=43°2′57" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 18⋅ 26182+262−222)=56°32′42" γ=180°−α−β=180°−43°2′57"−56°32′42"=80°24′21"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=33195,23=5,92
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 5,916⋅ 3318⋅ 22⋅ 26=13,18
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 222+2⋅ 262−182=22,338 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 262+2⋅ 182−222=19,468 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 182+2⋅ 222−262=15,33
Vypočítat další trojúhelník