Trojúhelník 18 23 27

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 18
b = 23
c = 27

Obsah trojúhelníku: S = 204,66655808875
Obvod trojúhelníku: o = 68
Semiperimeter (poloobvod): s = 34

Úhel ∠ A = α = 41,23549578936° = 41°14'6″ = 0,72196857822 rad
Úhel ∠ B = β = 57,37879709914° = 57°22'41″ = 1,00114345119 rad
Úhel ∠ C = γ = 81,3877071115° = 81°23'13″ = 1,42204723595 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 22,74106200986
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 17,79770070337
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 15,16604133991

Těžnice: t_a = 23,40993998214
Těžnice: t_b = 19,85657296517
Těžnice: t_c = 15,62884996081

Poloměr vepsané kružnice: r = 6,02195759085
Poloměr opsané kružnice: R = 13,65439812307

Souřadnice vrcholů: A[27; 0] B[0; 0] C[9,70437037037; 15,16604133991]
Těžiště: T[12,23545679012; 5,0533471133]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13,5; 2,04547991215]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11; 6,02195759085]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 138,76550421064° = 138°45'54″ = 0,72196857822 rad
∠ B' = β' = 122,62220290086° = 122°37'19″ = 1,00114345119 rad
∠ C' = γ' = 98,6132928885° = 98°36'47″ = 1,42204723595 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 18 b = 23 c = 27

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 8}{2} = 34

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 34 (34 - 18) (34 - 23) (34 - 27) S = 41888 = 204, 67

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 0 4 , 6 7}{1 8} = 22, 74 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 0 4 , 6 7}{2 3} = 17, 8 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 0 4 , 6 7}{2 7} = 15, 16

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 2 7 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 2 7}) = 41 ° 1 4^{'} 6 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 7 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 7}) = 57 ° 2 2^{'} 41 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 1 4^{'} 6 " - 57 ° 2 2^{'} 41 " = 81 ° 2 3^{'} 13 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 0 4 , 6 7}{3 4} = 6, 02

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 8 \cdot 2 3 \cdot 2 7}{4 \cdot 6 , 0 2 \cdot 3 4} = 13, 65

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 23, 409 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 19, 856 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 15, 628

Vypočítat další trojúhelník