Trojúhelník 18 29 30

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 18
b = 29
c = 30

Obsah trojúhelníku: S = 252,45218518451
Obvod trojúhelníku: o = 77
Semiperimeter (poloobvod): s = 38,5

Úhel ∠ A = α = 35,47550991434° = 35°28'30″ = 0,61991572825 rad
Úhel ∠ B = β = 69,22992530508° = 69°13'45″ = 1,20882784044 rad
Úhel ∠ C = γ = 75,29656478059° = 75°17'44″ = 1,31441569666 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 28,05502057606
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 17,4110472541
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 16,83301234563

Těžnice: t_a = 28,09880426365
Těžnice: t_b = 20,04437022528
Těžnice: t_c = 18,90876704012

Poloměr vepsané kružnice: r = 6,5577190957
Poloměr opsané kružnice: R = 15,50879076322

Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[6,38333333333; 16,83301234563]
Těžiště: T[12,12877777778; 5,61100411521]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; 3,93663941787]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9,5; 6,5577190957]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 144,52549008566° = 144°31'30″ = 0,61991572825 rad
∠ B' = β' = 110,77107469492° = 110°46'15″ = 1,20882784044 rad
∠ C' = γ' = 104,70443521941° = 104°42'16″ = 1,31441569666 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 18 b = 29 c = 30

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 18 + 29 + 30 = 77

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 7}{2} = 38, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 38, 5 (38, 5 - 18) (38, 5 - 29) (38, 5 - 30) S = 63731, 94 = 252, 45

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 5 2 , 4 5}{1 8} = 28, 05 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 5 2 , 4 5}{2 9} = 17, 41 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 5 2 , 4 5}{3 0} = 16, 83

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 9 ^{2} + 3 0 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 2 9 \cdot 3 0}) = 35 ° 2 8^{'} 30 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 3 0}) = 69 ° 1 3^{'} 45 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 2 8^{'} 30 " - 69 ° 1 3^{'} 45 " = 75 ° 1 7^{'} 44 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 5 2 , 4 5}{3 8 , 5} = 6, 56

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 8 \cdot 2 9 \cdot 3 0}{4 \cdot 6 , 5 5 7 \cdot 3 8 , 5} = 15, 51

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 28, 098 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 20, 044 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 18, 908

Vypočítat další trojúhelník