Trojúhelník 19 19 20
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 19
b = 19
c = 20
Obsah trojúhelníku: S = 161,5554944214
Obvod trojúhelníku: o = 58
Semiperimeter (poloobvod): s = 29
Úhel ∠ A = α = 58,24331361407° = 58°14'35″ = 1,01765344923 rad
Úhel ∠ B = β = 58,24331361407° = 58°14'35″ = 1,01765344923 rad
Úhel ∠ C = γ = 63,51437277186° = 63°30'49″ = 1,10985236689 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 17,00657836015
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 17,00657836015
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 16,15554944214
Těžnice: ta = 17,03767250374
Těžnice: tb = 17,03767250374
Těžnice: tc = 16,15554944214
Poloměr vepsané kružnice: r = 5,57108601453
Poloměr opsané kružnice: R = 11,17326695137
Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[10; 16,15554944214]
Těžiště: T[10; 5,38551648071]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; 4,98328249078]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10; 5,57108601453]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 121,75768638593° = 121°45'25″ = 1,01765344923 rad
∠ B' = β' = 121,75768638593° = 121°45'25″ = 1,01765344923 rad
∠ C' = γ' = 116,48662722814° = 116°29'11″ = 1,10985236689 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=19 b=19 c=20
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=19+19+20=58
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=258=29
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=29(29−19)(29−19)(29−20) S=26100=161,55
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=192⋅ 161,55=17,01 vb=b2 S=192⋅ 161,55=17,01 vc=c2 S=202⋅ 161,55=16,16
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 19⋅ 20192+202−192)=58°14′35" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 19⋅ 20192+202−192)=58°14′35" γ=180°−α−β=180°−58°14′35"−58°14′35"=63°30′49"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=29161,55=5,57
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 5,571⋅ 2919⋅ 19⋅ 20=11,17
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 192+2⋅ 202−192=17,037 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 192−192=17,037 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 192+2⋅ 192−202=16,155
Vypočítat další trojúhelník