Trojúhelník 19 19 22
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 19
b = 19
c = 22
Obsah trojúhelníku: S = 170,41112672331
Obvod trojúhelníku: o = 60
Semiperimeter (poloobvod): s = 30
Úhel ∠ A = α = 54,62334598481° = 54°37'24″ = 0,95333592232 rad
Úhel ∠ B = β = 54,62334598481° = 54°37'24″ = 0,95333592232 rad
Úhel ∠ C = γ = 70,75330803039° = 70°45'11″ = 1,23548742072 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 17,93880281298
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 17,93880281298
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 15,49219333848
Těžnice: ta = 18,22877261336
Těžnice: tb = 18,22877261336
Těžnice: tc = 15,49219333848
Poloměr vepsané kružnice: r = 5,68803755744
Poloměr opsané kružnice: R = 11,65112248998
Souřadnice vrcholů: A[22; 0] B[0; 0] C[11; 15,49219333848]
Těžiště: T[11; 5,16439777949]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11; 3,8410708485]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11; 5,68803755744]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 125,37765401519° = 125°22'36″ = 0,95333592232 rad
∠ B' = β' = 125,37765401519° = 125°22'36″ = 0,95333592232 rad
∠ C' = γ' = 109,24769196961° = 109°14'49″ = 1,23548742072 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=19 b=19 c=22
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=19+19+22=60
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=260=30
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=30(30−19)(30−19)(30−22) S=29040=170,41
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=192⋅ 170,41=17,94 vb=b2 S=192⋅ 170,41=17,94 vc=c2 S=222⋅ 170,41=15,49
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 19⋅ 22192+222−192)=54°37′24" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 19⋅ 22192+222−192)=54°37′24" γ=180°−α−β=180°−54°37′24"−54°37′24"=70°45′11"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=30170,41=5,68
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 5,68⋅ 3019⋅ 19⋅ 22=11,65
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 192+2⋅ 222−192=18,228 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 222+2⋅ 192−192=18,228 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 192+2⋅ 192−222=15,492
Vypočítat další trojúhelník