Trojúhelník 19 19 29

Tupouhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 19
b = 19
c = 29

Obsah trojúhelníku: S = 178,03114227882
Obvod trojúhelníku: o = 67
Semiperimeter (poloobvod): s = 33,5

Úhel ∠ A = α = 40,25766125764° = 40°15'24″ = 0,70326104352 rad
Úhel ∠ B = β = 40,25766125764° = 40°15'24″ = 0,70326104352 rad
Úhel ∠ C = γ = 99,48767748473° = 99°29'12″ = 1,73663717833 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 18,74401497672
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 18,74401497672
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 12,27880291578

Těžnice: t_a = 22.659977876
Těžnice: t_b = 22.659977876
Těžnice: t_c = 12,27880291578

Poloměr vepsané kružnice: r = 5,31443708295
Poloměr opsané kružnice: R = 14,70110564709

Souřadnice vrcholů: A[29; 0] B[0; 0] C[14,5; 12,27880291578]
Těžiště: T[14,5; 4,09326763859]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14,5; -2,42330273131]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[14,5; 5,31443708295]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 139,74333874237° = 139°44'36″ = 0,70326104352 rad
∠ B' = β' = 139,74333874237° = 139°44'36″ = 0,70326104352 rad
∠ C' = γ' = 80,51332251527° = 80°30'48″ = 1,73663717833 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 19 b = 19 c = 29

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 19 + 19 + 29 = 67

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 7}{2} = 33, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 33, 5 (33, 5 - 19) (33, 5 - 19) (33, 5 - 29) S = 31695, 19 = 178, 03

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 7 8 , 0 3}{1 9} = 18, 74 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 7 8 , 0 3}{1 9} = 18, 74 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 7 8 , 0 3}{2 9} = 12, 28

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 9 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 9}) = 40 ° 1 5^{'} 24 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 9 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 9}) = 40 ° 1 5^{'} 24 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 40 ° 1 5^{'} 24 " - 40 ° 1 5^{'} 24 " = 99 ° 2 9^{'} 12 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 7 8 , 0 3}{3 3 , 5} = 5, 31

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 9 \cdot 1 9 \cdot 2 9}{4 \cdot 5 , 3 1 4 \cdot 3 3 , 5} = 14, 7

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 22, 6 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 22, 6 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 12, 278

Vypočítat další trojúhelník