Trojúhelník 19 21 25

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 19
b = 21
c = 25

Obsah trojúhelníku: S = 194,53106852401
Obvod trojúhelníku: o = 65
Semiperimeter (poloobvod): s = 32,5

Úhel ∠ A = α = 47,82325813991° = 47°49'21″ = 0,83546615022 rad
Úhel ∠ B = β = 54,99224613631° = 54°59'33″ = 0,96597995146 rad
Úhel ∠ C = γ = 77,18549572378° = 77°11'6″ = 1,34771316368 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 20,47769142358
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 18,52767319276
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 15,56224548192

Těžnice: t_a = 21,04216254125
Těžnice: t_b = 19,56439975465
Těžnice: t_c = 15,64444878472

Poloměr vepsané kružnice: r = 5,98655595459
Poloměr opsané kružnice: R = 12,81993143253

Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[10,9; 15,56224548192]
Těžiště: T[11,96766666667; 5,18774849397]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; 2,84333817488]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11,5; 5,98655595459]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 132,17774186009° = 132°10'39″ = 0,83546615022 rad
∠ B' = β' = 125,00875386369° = 125°27″ = 0,96597995146 rad
∠ C' = γ' = 102,81550427622° = 102°48'54″ = 1,34771316368 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 19 b = 21 c = 25

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 19 + 21 + 25 = 65

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 5}{2} = 32, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 32, 5 (32, 5 - 19) (32, 5 - 21) (32, 5 - 25) S = 37842, 19 = 194, 53

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 9 4 , 5 3}{1 9} = 20, 48 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 9 4 , 5 3}{2 1} = 18, 53 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 9 4 , 5 3}{2 5} = 15, 56

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 5}) = 47 ° 4 9^{'} 21 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 5}) = 54 ° 5 9^{'} 33 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 47 ° 4 9^{'} 21 " - 54 ° 5 9^{'} 33 " = 77 ° 1 1^{'} 6 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 9 4 , 5 3}{3 2 , 5} = 5, 99

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 9 \cdot 2 1 \cdot 2 5}{4 \cdot 5 , 9 8 6 \cdot 3 2 , 5} = 12, 82

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 21, 042 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 19, 564 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 15, 644

Vypočítat další trojúhelník