Trojúhelník 19 21 27

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 19
b = 21
c = 27

Obsah trojúhelníku: S = 198,66435031907
Obvod trojúhelníku: o = 67
Semiperimeter (poloobvod): s = 33,5

Úhel ∠ A = α = 44,4877456403° = 44°29'15″ = 0,77664525901 rad
Úhel ∠ B = β = 50,76112247363° = 50°45'40″ = 0,8865950504 rad
Úhel ∠ C = γ = 84,75113188607° = 84°45'5″ = 1,47991895595 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 20,91219477043
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 18,92203336372
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 14,71658150512

Těžnice: t_a = 22,24329764195
Těžnice: t_b = 20,8510659462
Těžnice: t_c = 14,79901994577

Poloměr vepsané kružnice: r = 5,93302538266
Poloměr opsané kružnice: R = 13,55768433897

Souřadnice vrcholů: A[27; 0] B[0; 0] C[12,01985185185; 14,71658150512]
Těžiště: T[13,00661728395; 4,90552716837]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13,5; 1,24401623652]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[12,5; 5,93302538266]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 135,5132543597° = 135°30'45″ = 0,77664525901 rad
∠ B' = β' = 129,23987752637° = 129°14'20″ = 0,8865950504 rad
∠ C' = γ' = 95,24986811393° = 95°14'55″ = 1,47991895595 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 19 b = 21 c = 27

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 19 + 21 + 27 = 67

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 7}{2} = 33, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 33, 5 (33, 5 - 19) (33, 5 - 21) (33, 5 - 27) S = 39467, 19 = 198, 66

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 9 8 , 6 6}{1 9} = 20, 91 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 9 8 , 6 6}{2 1} = 18, 92 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 9 8 , 6 6}{2 7} = 14, 72

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 7 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 7}) = 44 ° 2 9^{'} 15 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 7 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 7}) = 50 ° 4 5^{'} 40 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 44 ° 2 9^{'} 15 " - 50 ° 4 5^{'} 40 " = 84 ° 4 5^{'} 5 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 9 8 , 6 6}{3 3 , 5} = 5, 93

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 9 \cdot 2 1 \cdot 2 7}{4 \cdot 5 , 9 3 \cdot 3 3 , 5} = 13, 56

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 22, 243 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 20, 851 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 14, 79

Vypočítat další trojúhelník