Trojúhelník 19 21 29

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 19
b = 21
c = 29

Obsah trojúhelníku: S = 199,26216056846
Obvod trojúhelníku: o = 69
Semiperimeter (poloobvod): s = 34,5

Úhel ∠ A = α = 40,87333755385° = 40°52'24″ = 0,71333749796 rad
Úhel ∠ B = β = 46,32553388901° = 46°19'31″ = 0,80985296907 rad
Úhel ∠ C = γ = 92,80112855715° = 92°48'5″ = 1,62196879833 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 20,97549058615
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 18,97772957795
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 13,74221797024

Těžnice: t_a = 23,46880634054
Těžnice: t_b = 22,15328779169
Těžnice: t_c = 13,81112273169

Poloměr vepsané kružnice: r = 5,77656987155
Poloměr opsané kružnice: R = 14,51773476348

Souřadnice vrcholů: A[29; 0] B[0; 0] C[13,12106896552; 13,74221797024]
Těžiště: T[14,04402298851; 4,58107265675]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14,5; -0,70994944333]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[13,5; 5,77656987155]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 139,12766244615° = 139°7'36″ = 0,71333749796 rad
∠ B' = β' = 133,675466111° = 133°40'29″ = 0,80985296907 rad
∠ C' = γ' = 87,19987144285° = 87°11'55″ = 1,62196879833 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 19 b = 21 c = 29

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 19 + 21 + 29 = 69

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 9}{2} = 34, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 34, 5 (34, 5 - 19) (34, 5 - 21) (34, 5 - 29) S = 39705, 19 = 199, 26

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 9 9 , 2 6}{1 9} = 20, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 9 9 , 2 6}{2 1} = 18, 98 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 9 9 , 2 6}{2 9} = 13, 74

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 9 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 9}) = 40 ° 5 2^{'} 24 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 9}) = 46 ° 1 9^{'} 31 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 40 ° 5 2^{'} 24 " - 46 ° 1 9^{'} 31 " = 92 ° 4 8^{'} 5 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 9 9 , 2 6}{3 4 , 5} = 5, 78

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 9 \cdot 2 1 \cdot 2 9}{4 \cdot 5 , 7 7 6 \cdot 3 4 , 5} = 14, 52

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 23, 468 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 22, 153 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 13, 811

Vypočítat další trojúhelník