Trojúhelník 19 22 25

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 19
b = 22
c = 25

Obsah trojúhelníku: S = 201,63333305781
Obvod trojúhelníku: o = 66
Semiperimeter (poloobvod): s = 33

Úhel ∠ A = α = 47,15663569564° = 47°9'23″ = 0,82330336921 rad
Úhel ∠ B = β = 58,10111663341° = 58°6'4″ = 1,01440566518 rad
Úhel ∠ C = γ = 74,74224767095° = 74°44'33″ = 1,30545023097 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 21,22545611135
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 18,33303027798
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 16,13106664462

Těžnice: t_a = 21,54664614264
Těžnice: t_b = 19,2877301522
Těžnice: t_c = 16,31771688721

Poloměr vepsané kružnice: r = 6,11101009266
Poloměr opsané kružnice: R = 12,95766872328

Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[10,04; 16,13106664462]
Těžiště: T[11,68; 5,37768888154]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; 3,41096545349]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11; 6,11101009266]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 132,84436430436° = 132°50'37″ = 0,82330336921 rad
∠ B' = β' = 121,8998833666° = 121°53'56″ = 1,01440566518 rad
∠ C' = γ' = 105,25875232905° = 105°15'27″ = 1,30545023097 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 19 b = 22 c = 25

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 19 + 22 + 25 = 66

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 6}{2} = 33

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 33 (33 - 19) (33 - 22) (33 - 25) S = 40656 = 201, 63

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 0 1 , 6 3}{1 9} = 21, 22 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 0 1 , 6 3}{2 2} = 18, 33 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 0 1 , 6 3}{2 5} = 16, 13

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 2 5}) = 47 ° 9^{'} 23 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 5}) = 58 ° 6^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 47 ° 9^{'} 23 " - 58 ° 6^{'} 4 " = 74 ° 4 4^{'} 33 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 0 1 , 6 3}{3 3} = 6, 11

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 9 \cdot 2 2 \cdot 2 5}{4 \cdot 6 , 1 1 \cdot 3 3} = 12, 96

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 21, 546 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 19, 287 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 16, 317

Vypočítat další trojúhelník