Trojúhelník 2 15 16

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 2
b = 15
c = 16

Obsah trojúhelníku: S = 13,39554283246
Obvod trojúhelníku: o = 33
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,5

Úhel ∠ A = α = 6,40992039782° = 6°24'33″ = 0,11218617119 rad
Úhel ∠ B = β = 56,84771120714° = 56°50'50″ = 0,99221692759 rad
Úhel ∠ C = γ = 116,74436839504° = 116°44'37″ = 2,03875616658 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 13,39554283246
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 1,78660571099
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 1,67444285406

Těžnice: t_a = 15,47657875405
Těžnice: t_b = 8,58877820187
Těžnice: t_c = 7,10663352018

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,81218441409
Poloměr opsané kružnice: R = 8,95882801753

Souřadnice vrcholů: A[16; 0] B[0; 0] C[1,094375; 1,67444285406]
Těžiště: T[5,69879166667; 0,55881428469]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8; -4,03112260789]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 0,81218441409]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 173,59107960218° = 173°35'27″ = 0,11218617119 rad
∠ B' = β' = 123,15328879286° = 123°9'10″ = 0,99221692759 rad
∠ C' = γ' = 63,25663160496° = 63°15'23″ = 2,03875616658 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 2 b = 15 c = 16

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 2 + 15 + 16 = 33

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 3}{2} = 16, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 16, 5 (16, 5 - 2) (16, 5 - 15) (16, 5 - 16) S = 179, 44 = 13, 4

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 , 4}{2} = 13, 4 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 , 4}{1 5} = 1, 79 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 , 4}{1 6} = 1, 67

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 6 ^{2} - 2 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 6}) = 6 ° 2 4^{'} 33 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 ^{2} + 1 6 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 2 \cdot 1 6}) = 56 ° 5 0^{'} 50 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 6 ° 2 4^{'} 33 " - 56 ° 5 0^{'} 50 " = 116 ° 4 4^{'} 37 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 , 4}{1 6 , 5} = 0, 81

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 \cdot 1 5 \cdot 1 6}{4 \cdot 0 , 8 1 2 \cdot 1 6 , 5} = 8, 96

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 ^{2}}{2} = 15, 476 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 8, 588 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 7, 106

Vypočítat další trojúhelník