Trojúhelník 2 2 3




Tupouhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 2
b = 2
c = 3

Obsah trojúhelníku: S = 1,98443134833
Obvod trojúhelníku: o = 7
Semiperimeter (poloobvod): s = 3,5

Úhel ∠ A = α = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Úhel ∠ B = β = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Úhel ∠ C = γ = 97,18107557815° = 97°10'51″ = 1,6966124158 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: va = 1,98443134833
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 1,98443134833
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 1,32328756555

Těžnice: ta = 2,34552078799
Těžnice: tb = 2,34552078799
Těžnice: tc = 1,32328756555

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,56769467095
Poloměr opsané kružnice: R = 1,5121857892

Souřadnice vrcholů: A[3; 0] B[0; 0] C[1,5; 1,32328756555]
Těžiště: T[1,5; 0,44109585518]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[1,5; -0,18989822365]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 0,56769467095]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ B' = β' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ C' = γ' = 82,81992442185° = 82°49'9″ = 1,6966124158 rad


Vypočítat další trojúhelník




Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=2 b=2 c=3

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=2+2+3=7

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=o2=72=3,5s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 7 }{ 2 } = 3{,}5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=3,5(3,52)(3,52)(3,53) S=3,5 1,5 1,5 0,5 S=3,938=1,984S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 3{,}5(3{,}5-2)(3{,}5-2)(3{,}5-3) } \ \\ S = \sqrt{ 3{,}5 \cdot \ 1{,}5 \cdot \ 1{,}5 \cdot \ 0{,}5 } \ \\ S = \sqrt{ 3{,}938 } = 1{,}984

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=ava2  va=2 Sa=2 1,9842=1,984 vb=2 Sb=2 1,9842=1,984 vc=2 Sc=2 1,9843=1,323S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 1{,}984 }{ 2 } = 1{,}984 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 1{,}984 }{ 2 } = 1{,}984 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 1{,}984 }{ 3 } = 1{,}323

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 2 322+3222)=41°2435"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 2 322+3222)=41°2435" γ=180°αβ=180°41°2435"41°2435"=97°1051"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=Ss=1,9843,5=0,567S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 1{,}984 }{ 3{,}5 } = 0{,}567

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=abc4 rs=2 2 34 0,567 3,5=1,512R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 2 \cdot \ 2 \cdot \ 3 }{ 4 \cdot \ 0{,}567 \cdot \ 3{,}5 } = 1{,}512

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=2b2+2c2a22=2 22+2 32222=2,345 tb=2c2+2a2b22=2 32+2 22222=2,345 tc=2a2+2b2c22=2 22+2 22322=1,323t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 2^2+2 \cdot \ 3^2 - 2^2 } }{ 2 } = 2{,}345 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 3^2+2 \cdot \ 2^2 - 2^2 } }{ 2 } = 2{,}345 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 2^2+2 \cdot \ 2^2 - 3^2 } }{ 2 } = 1{,}323

Vypočítat další trojúhelník