Trojúhelník 2 20 20

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 2
b = 20
c = 20

Obsah trojúhelníku: S = 19,97549843554
Obvod trojúhelníku: o = 42
Semiperimeter (poloobvod): s = 21

Úhel ∠ A = α = 5,73219679652° = 5°43'55″ = 0.11000417136 rad
Úhel ∠ B = β = 87,13440160174° = 87°8'2″ = 1,521077547 rad
Úhel ∠ C = γ = 87,13440160174° = 87°8'2″ = 1,521077547 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 19,97549843554
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 1,99774984355
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 1,99774984355

Těžnice: t_a = 19,97549843554
Těžnice: t_b = 10.10995049384
Těžnice: t_c = 10.10995049384

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,95111897312
Poloměr opsané kružnice: R = 10,01325234864

Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[0,1; 1,99774984355]
Těžiště: T[6,7; 0,66658328118]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; 0,50106261743]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1; 0,95111897312]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 174,26880320348° = 174°16'5″ = 0.11000417136 rad
∠ B' = β' = 92,86659839826° = 92°51'58″ = 1,521077547 rad
∠ C' = γ' = 92,86659839826° = 92°51'58″ = 1,521077547 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 2 b = 20 c = 20

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 2 + 20 + 20 = 42

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 2}{2} = 21

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21 (21 - 2) (21 - 20) (21 - 20) S = 399 = 19, 97

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 9 , 9 7}{2} = 19, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 9 , 9 7}{2 0} = 2 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 9 , 9 7}{2 0} = 2

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 0 ^{2} - 2 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 0}) = 5 ° 4 3^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 ^{2} + 2 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 2 \cdot 2 0}) = 87 ° 8^{'} 2 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 5 ° 4 3^{'} 55 " - 87 ° 8^{'} 2 " = 87 ° 8^{'} 2 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 9 , 9 7}{2 1} = 0, 95

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 \cdot 2 0 \cdot 2 0}{4 \cdot 0 , 9 5 1 \cdot 2 1} = 10, 01

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 ^{2}}{2} = 19, 975 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 10, 1 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 10, 1

Vypočítat další trojúhelník