Trojúhelník 2 22 22
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 2
b = 22
c = 22
Obsah trojúhelníku: S = 21,97772609758
Obvod trojúhelníku: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23
Úhel ∠ A = α = 5,21105025301° = 5°12'38″ = 0,09109404248 rad
Úhel ∠ B = β = 87,39547487349° = 87°23'41″ = 1,52553261144 rad
Úhel ∠ C = γ = 87,39547487349° = 87°23'41″ = 1,52553261144 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 21,97772609758
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 1,9987932816
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 1,9987932816
Těžnice: ta = 21,97772609758
Těžnice: tb = 11,09105365064
Těžnice: tc = 11,09105365064
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,95655330859
Poloměr opsané kružnice: R = 11,01113812757
Souřadnice vrcholů: A[22; 0] B[0; 0] C[0,09109090909; 1,9987932816]
Těžiště: T[7,36436363636; 0,66659776053]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11; 0,50105173307]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1; 0,95655330859]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 174,78994974699° = 174°47'22″ = 0,09109404248 rad
∠ B' = β' = 92,60552512651° = 92°36'19″ = 1,52553261144 rad
∠ C' = γ' = 92,60552512651° = 92°36'19″ = 1,52553261144 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=2 b=22 c=22
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=2+22+22=46
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=246=23
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=23(23−2)(23−22)(23−22) S=483=21,98
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 21,98=21,98 vb=b2 S=222⋅ 21,98=2 vc=c2 S=222⋅ 21,98=2
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 22⋅ 22222+222−22)=5°12′38" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 2222+222−222)=87°23′41" γ=180°−α−β=180°−5°12′38"−87°23′41"=87°23′41"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2321,98=0,96
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,956⋅ 232⋅ 22⋅ 22=11,01
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 222+2⋅ 222−22=21,977 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 222+2⋅ 22−222=11,091 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 222−222=11,091
Vypočítat další trojúhelník