Trojúhelník 20 20 25
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 20
b = 20
c = 25
Obsah trojúhelníku: S = 195,156618745
Obvod trojúhelníku: o = 65
Semiperimeter (poloobvod): s = 32,5
Úhel ∠ A = α = 51,31878125465° = 51°19'4″ = 0,89656647939 rad
Úhel ∠ B = β = 51,31878125465° = 51°19'4″ = 0,89656647939 rad
Úhel ∠ C = γ = 77,3644374907° = 77°21'52″ = 1,35502630659 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 19,5165618745
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 19,5165618745
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 15,6122494996
Těžnice: ta = 20,31100960116
Těžnice: tb = 20,31100960116
Těžnice: tc = 15,6122494996
Poloměr vepsané kružnice: r = 6,00548057677
Poloměr opsané kružnice: R = 12,81102523044
Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[12,5; 15,6122494996]
Těžiště: T[12,5; 5,20441649987]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; 2,80222426916]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[12,5; 6,00548057677]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 128,68221874535° = 128°40'56″ = 0,89656647939 rad
∠ B' = β' = 128,68221874535° = 128°40'56″ = 0,89656647939 rad
∠ C' = γ' = 102,6365625093° = 102°38'8″ = 1,35502630659 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=20 b=20 c=25
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=20+20+25=65
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=265=32,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=32,5(32,5−20)(32,5−20)(32,5−25) S=38085,94=195,16
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=202⋅ 195,16=19,52 vb=b2 S=202⋅ 195,16=19,52 vc=c2 S=252⋅ 195,16=15,61
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 25202+252−202)=51°19′4" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 20⋅ 25202+252−202)=51°19′4" γ=180°−α−β=180°−51°19′4"−51°19′4"=77°21′52"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=32,5195,16=6
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 6,005⋅ 32,520⋅ 20⋅ 25=12,81
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 252−202=20,31 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 202−202=20,31 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 202+2⋅ 202−252=15,612
Vypočítat další trojúhelník