Trojúhelník 20 20 26
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 20
b = 20
c = 26
Obsah trojúhelníku: S = 197,58328939964
Obvod trojúhelníku: o = 66
Semiperimeter (poloobvod): s = 33
Úhel ∠ A = α = 49,45883981265° = 49°27'30″ = 0,86332118901 rad
Úhel ∠ B = β = 49,45883981265° = 49°27'30″ = 0,86332118901 rad
Úhel ∠ C = γ = 81,0833203747° = 81°5' = 1,41551688735 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 19,75882893996
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 19,75882893996
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 15,19986841536
Těžnice: ta = 20,92884495365
Těžnice: tb = 20,92884495365
Těžnice: tc = 15,19986841536
Poloměr vepsané kružnice: r = 5,98773604241
Poloměr opsané kružnice: R = 13,15990338992
Souřadnice vrcholů: A[26; 0] B[0; 0] C[13; 15,19986841536]
Těžiště: T[13; 5,06662280512]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13; 2,04396502544]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[13; 5,98773604241]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 130,54216018735° = 130°32'30″ = 0,86332118901 rad
∠ B' = β' = 130,54216018735° = 130°32'30″ = 0,86332118901 rad
∠ C' = γ' = 98,9176796253° = 98°55' = 1,41551688735 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=20 b=20 c=26
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=20+20+26=66
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=266=33
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=33(33−20)(33−20)(33−26) S=39039=197,58
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=202⋅ 197,58=19,76 vb=b2 S=202⋅ 197,58=19,76 vc=c2 S=262⋅ 197,58=15,2
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 26202+262−202)=49°27′30" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 20⋅ 26202+262−202)=49°27′30" γ=180°−α−β=180°−49°27′30"−49°27′30"=81°5′
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=33197,58=5,99
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 5,987⋅ 3320⋅ 20⋅ 26=13,16
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 262−202=20,928 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 262+2⋅ 202−202=20,928 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 202+2⋅ 202−262=15,199
Vypočítat další trojúhelník