Trojúhelník 20 20 28
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 20
b = 20
c = 28
Obsah trojúhelníku: S = 199,96599959992
Obvod trojúhelníku: o = 68
Semiperimeter (poloobvod): s = 34
Úhel ∠ A = α = 45,57329959992° = 45°34'23″ = 0,79553988302 rad
Úhel ∠ B = β = 45,57329959992° = 45°34'23″ = 0,79553988302 rad
Úhel ∠ C = γ = 88,85440080016° = 88°51'14″ = 1,55107949932 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 19,99659995999
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 19,99659995999
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 14,28328568571
Těžnice: ta = 22,18110730128
Těžnice: tb = 22,18110730128
Těžnice: tc = 14,28328568571
Poloměr vepsané kružnice: r = 5,88111763529
Poloměr opsané kružnice: R = 14,00328008403
Souřadnice vrcholů: A[28; 0] B[0; 0] C[14; 14,28328568571]
Těžiště: T[14; 4,76109522857]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14; 0,28800560168]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[14; 5,88111763529]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 134,42770040008° = 134°25'37″ = 0,79553988302 rad
∠ B' = β' = 134,42770040008° = 134°25'37″ = 0,79553988302 rad
∠ C' = γ' = 91,14659919984° = 91°8'46″ = 1,55107949932 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=20 b=20 c=28
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=20+20+28=68
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=268=34
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=34(34−20)(34−20)(34−28) S=39984=199,96
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=202⋅ 199,96=20 vb=b2 S=202⋅ 199,96=20 vc=c2 S=282⋅ 199,96=14,28
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 28202+282−202)=45°34′23" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 20⋅ 28202+282−202)=45°34′23" γ=180°−α−β=180°−45°34′23"−45°34′23"=88°51′14"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=34199,96=5,88
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 5,881⋅ 3420⋅ 20⋅ 28=14
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 282−202=22,181 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 282+2⋅ 202−202=22,181 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 202+2⋅ 202−282=14,283
Vypočítat další trojúhelník