Trojúhelník 20 21 22
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 20
b = 21
c = 22
Obsah trojúhelníku: S = 190,09106033974
Obvod trojúhelníku: o = 63
Semiperimeter (poloobvod): s = 31,5
Úhel ∠ A = α = 55,37664645208° = 55°22'35″ = 0,9676501634 rad
Úhel ∠ B = β = 59,77441988917° = 59°46'27″ = 1,04332565784 rad
Úhel ∠ C = γ = 64,84993365875° = 64°50'58″ = 1,13218344412 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 19,00990603397
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 18,10438669902
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 17,28109639452
Těžnice: ta = 19,03994327647
Těžnice: tb = 18,21440056001
Těžnice: tc = 17,30660682999
Poloměr vepsané kružnice: r = 6,03546223301
Poloměr opsané kružnice: R = 12,15220998867
Souřadnice vrcholů: A[22; 0] B[0; 0] C[10,06881818182; 17,28109639452]
Těžiště: T[10,68993939394; 5,76603213151]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11; 5,16546424518]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10,5; 6,03546223301]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 124,62435354792° = 124°37'25″ = 0,9676501634 rad
∠ B' = β' = 120,22658011083° = 120°13'33″ = 1,04332565784 rad
∠ C' = γ' = 115,15106634125° = 115°9'2″ = 1,13218344412 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=20 b=21 c=22
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=20+21+22=63
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=263=31,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=31,5(31,5−20)(31,5−21)(31,5−22) S=36134,44=190,09
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=202⋅ 190,09=19,01 vb=b2 S=212⋅ 190,09=18,1 vc=c2 S=222⋅ 190,09=17,28
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 21⋅ 22212+222−202)=55°22′35" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 20⋅ 22202+222−212)=59°46′27" γ=180°−α−β=180°−55°22′35"−59°46′27"=64°50′58"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=31,5190,09=6,03
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 6,035⋅ 31,520⋅ 21⋅ 22=12,15
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 212+2⋅ 222−202=19,039 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 222+2⋅ 202−212=18,214 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 202+2⋅ 212−222=17,306
Vypočítat další trojúhelník