Trojúhelník 20 21 23

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 20
b = 21
c = 23

Obsah trojúhelníku: S = 194,97769217113
Obvod trojúhelníku: o = 64
Semiperimeter (poloobvod): s = 32

Úhel ∠ A = α = 53,83985840336° = 53°50'19″ = 0,9439660556 rad
Úhel ∠ B = β = 57,96551639558° = 57°57'55″ = 1,01216829625 rad
Úhel ∠ C = γ = 68,19662520106° = 68°11'47″ = 1,19902491351 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 19,49876921711
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 18,56992306392
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 16,95545149314

Těžnice: t_a = 19,62114168703
Těžnice: t_b = 18,82215302247
Těžnice: t_c = 16,97879268463

Poloměr vepsané kružnice: r = 6,09330288035
Poloměr opsané kružnice: R = 12,38660812798

Souřadnice vrcholů: A[23; 0] B[0; 0] C[10,60986956522; 16,95545149314]
Těžiště: T[11,20328985507; 5,65215049771]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11,5; 4,60105444754]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11; 6,09330288035]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 126,16114159664° = 126°9'41″ = 0,9439660556 rad
∠ B' = β' = 122,03548360442° = 122°2'5″ = 1,01216829625 rad
∠ C' = γ' = 111,80437479894° = 111°48'13″ = 1,19902491351 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 20 b = 21 c = 23

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 20 + 21 + 23 = 64

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 4}{2} = 32

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 32 (32 - 20) (32 - 21) (32 - 23) S = 38016 = 194, 98

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 9 4 , 9 8}{2 0} = 19, 5 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 9 4 , 9 8}{2 1} = 18, 57 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 9 4 , 9 8}{2 3} = 16, 95

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 3 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 3}) = 53 ° 5 0^{'} 19 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 3 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 3}) = 57 ° 5 7^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 53 ° 5 0^{'} 19 " - 57 ° 5 7^{'} 55 " = 68 ° 1 1^{'} 47 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 9 4 , 9 8}{3 2} = 6, 09

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 \cdot 2 1 \cdot 2 3}{4 \cdot 6 , 0 9 3 \cdot 3 2} = 12, 39

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 19, 621 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 18, 822 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 16, 978

Vypočítat další trojúhelník