Trojúhelník 20 21 25
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 20
b = 21
c = 25
Obsah trojúhelníku: S = 202,93884143035
Obvod trojúhelníku: o = 66
Semiperimeter (poloobvod): s = 33
Úhel ∠ A = α = 50,63329726582° = 50°37'59″ = 0,8843712083 rad
Úhel ∠ B = β = 54,26876240296° = 54°16'3″ = 0,94771487166 rad
Úhel ∠ C = γ = 75,09994033122° = 75°5'58″ = 1,31107318541 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 20,29438414303
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 19,32774680289
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 16,23550731443
Těžnice: ta = 20,80986520467
Těžnice: tb = 20,05661711201
Těžnice: tc = 16,2565768207
Poloměr vepsané kružnice: r = 6,15496489183
Poloměr opsané kružnice: R = 12,93549586623
Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[11,68; 16,23550731443]
Těžiště: T[12,22766666667; 5,41216910481]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; 3,32661322274]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[12; 6,15496489183]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 129,36770273418° = 129°22'1″ = 0,8843712083 rad
∠ B' = β' = 125,73223759704° = 125°43'57″ = 0,94771487166 rad
∠ C' = γ' = 104,90105966878° = 104°54'2″ = 1,31107318541 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=20 b=21 c=25
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=20+21+25=66
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=266=33
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=33(33−20)(33−21)(33−25) S=41184=202,94
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=202⋅ 202,94=20,29 vb=b2 S=212⋅ 202,94=19,33 vc=c2 S=252⋅ 202,94=16,24
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 21⋅ 25212+252−202)=50°37′59" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 20⋅ 25202+252−212)=54°16′3" γ=180°−α−β=180°−50°37′59"−54°16′3"=75°5′58"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=33202,94=6,15
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 6,15⋅ 3320⋅ 21⋅ 25=12,93
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 212+2⋅ 252−202=20,809 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 202−212=20,056 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 202+2⋅ 212−252=16,256
Vypočítat další trojúhelník