Trojúhelník 20 21 30

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 20
b = 21
c = 30

Obsah trojúhelníku: S = 209,48113535855
Obvod trojúhelníku: o = 71
Semiperimeter (poloobvod): s = 35,5

Úhel ∠ A = α = 41,68438728078° = 41°41'2″ = 0,72875208255 rad
Úhel ∠ B = β = 44,28884644613° = 44°17'18″ = 0,77329795255 rad
Úhel ∠ C = γ = 94,02876627308° = 94°1'40″ = 1,64110923026 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 20,94881353585
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 19,95106051034
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 13,96554235724

Těžnice: t_a = 23,8855141825
Těžnice: t_b = 23,2332520311
Těžnice: t_c = 13,98221314541

Poloměr vepsané kružnice: r = 5,90108831996
Poloměr opsané kružnice: R = 15,03771378936

Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[14,31766666667; 13,96554235724]
Těžiště: T[14,77222222222; 4,65551411908]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; -1,05661799235]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[14,5; 5,90108831996]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 138,31661271922° = 138°18'58″ = 0,72875208255 rad
∠ B' = β' = 135,71215355387° = 135°42'42″ = 0,77329795255 rad
∠ C' = γ' = 85,97223372692° = 85°58'20″ = 1,64110923026 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 20 b = 21 c = 30

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 20 + 21 + 30 = 71

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 1}{2} = 35, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 35, 5 (35, 5 - 20) (35, 5 - 21) (35, 5 - 30) S = 43882, 44 = 209, 48

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 0 9 , 4 8}{2 0} = 20, 95 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 0 9 , 4 8}{2 1} = 19, 95 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 0 9 , 4 8}{3 0} = 13, 97

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 3 0}) = 41 ° 4 1^{'} 2 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 3 0}) = 44 ° 1 7^{'} 18 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 4 1^{'} 2 " - 44 ° 1 7^{'} 18 " = 94 ° 1^{'} 40 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 0 9 , 4 8}{3 5 , 5} = 5, 9

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 \cdot 2 1 \cdot 3 0}{4 \cdot 5 , 9 0 1 \cdot 3 5 , 5} = 15, 04

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 23, 885 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 23, 233 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 13, 982

Vypočítat další trojúhelník