Trojúhelník 20 22 26

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 20
b = 22
c = 26

Obsah trojúhelníku: S = 213,76662274542
Obvod trojúhelníku: o = 68
Semiperimeter (poloobvod): s = 34

Úhel ∠ A = α = 48,36986204606° = 48°22'7″ = 0,84441916817 rad
Úhel ∠ B = β = 55,30333976437° = 55°18'12″ = 0,96552263764 rad
Úhel ∠ C = γ = 76,32879818956° = 76°19'41″ = 1,33221745955 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 21,37766227454
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 19,43332934049
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 16,4443555958

Těžnice: t_a = 21,90989023002
Těžnice: t_b = 20,42105778567
Těžnice: t_c = 16,52327116419

Poloměr vepsané kružnice: r = 6,28772419839
Poloměr opsané kružnice: R = 13,37991012456

Souřadnice vrcholů: A[26; 0] B[0; 0] C[11,38546153846; 16,4443555958]
Těžiště: T[12,46215384615; 5,48111853193]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13; 3,16223330217]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[12; 6,28772419839]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 131,63113795394° = 131°37'53″ = 0,84441916817 rad
∠ B' = β' = 124,69766023563° = 124°41'48″ = 0,96552263764 rad
∠ C' = γ' = 103,67220181044° = 103°40'19″ = 1,33221745955 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 20 b = 22 c = 26

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 20 + 22 + 26 = 68

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 8}{2} = 34

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 34 (34 - 20) (34 - 22) (34 - 26) S = 45696 = 213, 77

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 1 3 , 7 7}{2 0} = 21, 38 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 1 3 , 7 7}{2 2} = 19, 43 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 1 3 , 7 7}{2 6} = 16, 44

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 2 6 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 2 6}) = 48 ° 2 2^{'} 7 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 6 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 6}) = 55 ° 1 8^{'} 12 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 48 ° 2 2^{'} 7 " - 55 ° 1 8^{'} 12 " = 76 ° 1 9^{'} 41 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 1 3 , 7 7}{3 4} = 6, 29

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 \cdot 2 2 \cdot 2 6}{4 \cdot 6 , 2 8 7 \cdot 3 4} = 13, 38

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 21, 909 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 20, 421 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 16, 523

Vypočítat další trojúhelník