Trojúhelník 20 22 29

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 20
b = 22
c = 29

Obsah trojúhelníku: S = 219,73772009925
Obvod trojúhelníku: o = 71
Semiperimeter (poloobvod): s = 35,5

Úhel ∠ A = α = 43,53876712285° = 43°32'16″ = 0,76598757116 rad
Úhel ∠ B = β = 49,26331242172° = 49°15'47″ = 0,86598037174 rad
Úhel ∠ C = γ = 87,19992045543° = 87°11'57″ = 1,52219132246 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 21,97437200992
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 19,97661091811
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 15,15442897236

Těžnice: t_a = 23,71770824513
Těžnice: t_b = 22,34994966386
Těžnice: t_c = 15,22333373476

Poloměr vepsané kružnice: r = 6,19897803096
Poloměr opsané kružnice: R = 14,51773415589

Souřadnice vrcholů: A[29; 0] B[0; 0] C[13,05217241379; 15,15442897236]
Těžiště: T[14,01772413793; 5,05114299079]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14,5; 0,70993700989]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[13,5; 6,19897803096]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 136,46223287715° = 136°27'44″ = 0,76598757116 rad
∠ B' = β' = 130,73768757828° = 130°44'13″ = 0,86598037174 rad
∠ C' = γ' = 92,80107954457° = 92°48'3″ = 1,52219132246 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 20 b = 22 c = 29

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 20 + 22 + 29 = 71

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 1}{2} = 35, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 35, 5 (35, 5 - 20) (35, 5 - 22) (35, 5 - 29) S = 48284, 44 = 219, 74

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 1 9 , 7 4}{2 0} = 21, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 1 9 , 7 4}{2 2} = 19, 98 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 1 9 , 7 4}{2 9} = 15, 15

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 2 9}) = 43 ° 3 2^{'} 16 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 9}) = 49 ° 1 5^{'} 47 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 43 ° 3 2^{'} 16 " - 49 ° 1 5^{'} 47 " = 87 ° 1 1^{'} 57 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 1 9 , 7 4}{3 5 , 5} = 6, 19

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 \cdot 2 2 \cdot 2 9}{4 \cdot 6 , 1 9 \cdot 3 5 , 5} = 14, 52

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 23, 717 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 22, 349 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 15, 223

Vypočítat další trojúhelník