Trojúhelník 20 25 30

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 20
b = 25
c = 30

Obsah trojúhelníku: S = 248,03991854123
Obvod trojúhelníku: o = 75
Semiperimeter (poloobvod): s = 37,5

Úhel ∠ A = α = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Úhel ∠ B = β = 55,77111336722° = 55°46'16″ = 0,97333899101 rad
Úhel ∠ C = γ = 82,81992442185° = 82°49'9″ = 1,44554684956 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 24,80439185412
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 19,8433134833
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 16,53659456942

Těžnice: t_a = 25,73990753525
Těžnice: t_b = 22,22204860433
Těžnice: t_c = 16,95658249578

Poloměr vepsané kružnice: r = 6,61443782777
Poloměr opsané kružnice: R = 15,11985789204

Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[11,25; 16,53659456942]
Těžiště: T[13,75; 5,51219818981]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; 1,8989822365]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[12,5; 6,61443782777]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ B' = β' = 124,22988663278° = 124°13'44″ = 0,97333899101 rad
∠ C' = γ' = 97,18107557815° = 97°10'51″ = 1,44554684956 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 20 b = 25 c = 30

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 20 + 25 + 30 = 75

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 5}{2} = 37, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 37, 5 (37, 5 - 20) (37, 5 - 25) (37, 5 - 30) S = 61523, 44 = 248, 04

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 4 8 , 0 4}{2 0} = 24, 8 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 4 8 , 0 4}{2 5} = 19, 84 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 4 8 , 0 4}{3 0} = 16, 54

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 5 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 2 5 \cdot 3 0}) = 41 ° 2 4^{'} 35 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 3 0}) = 55 ° 4 6^{'} 16 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 2 4^{'} 35 " - 55 ° 4 6^{'} 16 " = 82 ° 4 9^{'} 9 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 4 8 , 0 4}{3 7 , 5} = 6, 61

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 \cdot 2 5 \cdot 3 0}{4 \cdot 6 , 6 1 4 \cdot 3 7 , 5} = 15, 12

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 25, 739 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 22, 22 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 16, 956

Vypočítat další trojúhelník