Trojúhelník 20 28 29

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 20
b = 28
c = 29

Obsah trojúhelníku: S = 266,54663139869
Obvod trojúhelníku: o = 77
Semiperimeter (poloobvod): s = 38,5

Úhel ∠ A = α = 41,03548543388° = 41°2'5″ = 0,71661933163 rad
Úhel ∠ B = β = 66,7998528371° = 66°47'55″ = 1,16658542556 rad
Úhel ∠ C = γ = 72,16766172902° = 72°10' = 1,26595450817 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 26,65546313987
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 19,03990224276
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 18,38325044129

Těžnice: t_a = 26,69326956301
Těžnice: t_b = 20,6033397778
Těžnice: t_c = 19,53884236826

Poloměr vepsané kružnice: r = 6,92332808828
Poloměr opsané kružnice: R = 15,23218744884

Souřadnice vrcholů: A[29; 0] B[0; 0] C[7,87993103448; 18,38325044129]
Těžiště: T[12,29331034483; 6,1287501471]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14,5; 4,66547615621]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10,5; 6,92332808828]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 138,96551456612° = 138°57'55″ = 0,71661933163 rad
∠ B' = β' = 113,2011471629° = 113°12'5″ = 1,16658542556 rad
∠ C' = γ' = 107,83333827098° = 107°50' = 1,26595450817 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 20 b = 28 c = 29

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 20 + 28 + 29 = 77

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 7}{2} = 38, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 38, 5 (38, 5 - 20) (38, 5 - 28) (38, 5 - 29) S = 71046, 94 = 266, 55

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 6 6 , 5 5}{2 0} = 26, 65 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 6 6 , 5 5}{2 8} = 19, 04 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 6 6 , 5 5}{2 9} = 18, 38

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 8 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 2 8 \cdot 2 9}) = 41 ° 2^{'} 5 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 9}) = 66 ° 4 7^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 2^{'} 5 " - 66 ° 4 7^{'} 55 " = 72 ° 1 0^{'}

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 6 6 , 5 5}{3 8 , 5} = 6, 92

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 \cdot 2 8 \cdot 2 9}{4 \cdot 6 , 9 2 3 \cdot 3 8 , 5} = 15, 23

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 26, 693 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 20, 603 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 19, 538

Vypočítat další trojúhelník